Transformaciones Lineales

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

1. Transformaciones lineales

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función

tal que:

i)

ii)

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si

es una transformación lineal, entonces

En efecto

Por la ley de la cancelación en W, tenemos que

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii)

es lineal si y solo si

Si T lineal, entonces

Inversamente, supongamos que

Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:

a)

b)

Nótese que usamos el hecho de que

lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii)

es lineal si y solo si

La demostración se hace por inducción sobre n.

a) Si

entonces

por la condición (ii) de T.

b) Supongamos válido para n. Probemos para

Por la condición (i) de T, tenemos que

Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

Así que podemos concluir que,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.

Ejemplo .

Sea

tal que

Entonces T es lineal

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

• T(u+v) = T(u) + T(v)

• T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Clasificación de las transformaciones lineales

• Monomorfismo: Si

es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

• Epimorfismo: Si

es sobreyectiva (exhaustiva).

• Isomorfismo: Si

es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

• Endomorfismo: Si

o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

• Automorfismo: Si

es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo)

Sea

un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de

en

que gira cada vector

un ángulo

para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y

tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

tal que

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

y es lineal, ya que:

En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo:

En efecto, es claro que

es un subespacio de

y

Además, cada

se escribe como

Todo esto demuestra que

Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:

Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

Kernel o Núcleo

Definición 94 Sea

una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal

, denotado por

al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores

de

tales que

Evaluando

es decir,

luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

por lo tanto,

con lo cual,

(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z)

= z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.

Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

Solución: Como tenemos que

Reemplazando

Imagen o Recorrido

Recordemos la definición de recorrido.

Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal

esto es

como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen.

Ejemplo Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de

Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.

Para ello, sean

tales que

T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

Por lo tanto,

Im(T) = {(a;b;c)

/((x;y;z)

((T(x;y;z)=(a;b;c))

= {(a;b;c)

/a-b-c=0}

= <(1;1;0);(1;0;1)>:

1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi

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