Cuantificadores Logicos

Cuantificadores lógicos.

Se utilizan en aquellas afirmaciones en las que se usan variables. Por ejemplo:

p: n es un número impar

Ésta afirmación no es una proposición, porque el hecho de que “p” sea verdadera o falsa depende del valor de “n”.

Sea P(n) la afirmación: n es un número impar y sea D ( dominio de discurso ) el conjunto de enteros positivos, entonces: para cada “n” en D, P(n) es verdadera o falsa pero no ambas a la vez.

Ejemplo 1:

Si n = 1, P(1): 1 es un número impar ( Verdadera ).

Si n = 2, P(2): 1 es un número impar ( Falsa ).

Por lo tanto, se llama a P(n) función proposicional o predicado.

Cuantificador Universal ( ∀ ).

Sea P una función proposicional con dominio de discurso D. Se dice que la afirmación para toda x, P(x) es una afirmación cuantificada universalmente.

El símbolo ∀ significa “para toda”, “para cada”, “para cualquier” y representa al cuantificador universal.

La afirmación ∀x P(x):

es verdadera si P(x) es verdadera para toda x en D.

es falsa si P(x) es falsa para al menos una x en D.

Ejemplo 2:

Tenemos la afirmación ∀x (x2 ≥ 0) con el conjunto de números reales como dominio de discurso ( D ).

Esta afirmación es verdadera porque para todo número real x, es cierto que el cuadrado de x es positivo o cero.

Si x = -2 entonces -22 ≥ 0 por tanto 4 ≥ 0.

Si x = 0 entonces 02 ≥ 0 por tanto 0 ≥ 0.

Si x = 2 entonces 22 ≥ 0 por tanto 4 ≥ 0.

Ejemplo 3:

Tenemos la afirmación ∀x (x2 – 1 > 0) con el conjunto de números reales como dominio de discurso ( D ).

Esta afirmación es falsa, ya que si x = 1 no es cierto que 12 – 1 > 0. El valor 1 es un contraejemplo de dicha afirmación. Esto es, existe al menos una x en el dominio que hace que (x2 – 1 > 0) sea falsa.

Cuantificador Existencial ( ∃ ).

Sea P una función proposicional con dominio de discurso D. Se dice que la afirmación existe x, P(x) es una afirmación cuantificada existencialmente.

El símbolo ∃ significa “existe”, “para alguna”, “para al menos una”.

Así la afirmación existe x, P(x) se escribe ∃x P(x).

La afirmación ∃x P(x):

es verdadera si P(x) es verdadera para al menos una x en D.

es falsa si P(x) es falsa para toda x en D.

Ejemplo 4:

Considere la afirmación ∃x (x/x2 + 1 = 2/5) con el conjunto de números reales como dominio de discurso..

Esta afirmación es verdadera porque existe al menos un número real que cumpla con (x/x2 + 1 = 2/5).

Si x = 2, entonces tenemos que: 2/22 + 1 = 2/5 o sea 2/5 = 2/5.

Ejemplo 5:

Si tenemos la afirmación ∃x (1/ x2 + 1 > 1) y deseamos verificar que es falsa, debe demostrarse que (1/ x2 + 1 > 1) es falsa para todo número real “x”.

Ahora, esta afirmación es falsa precisamente cuando (1/ x2 + 1 ≤ 1) es verdadera.

Si x = 1, entonces tenemos que: ½ ≤ 1, lo cual es verdadero.

Por lo tanto (1/ x2 + 1 > 1) es falsa para todo número real “x”.

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