DERIVADAS

Derivadas parciales de segundo orden.

Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)

Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

Se trata de derivar respecto de x la derivada .

Se trata de derivar respecto a x la derivada .

Se trata de derivar respecto a y la derivada .

Se trata de derivar respecto a y la derivada .

Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.

Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.

Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy sea continua en este punto, para que tengamos:

es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola".

En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas.

A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 2 2 :

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