Definiciones básicas y terminología

1.1 Definiciones básicas y terminología

Dada la función y= f(x), la derivada  [pic 3]

Es también una función de “x” y se encuentra mediante alguna regla apropiada. Por ejemplo si y=  entonces    = D x u  o bien  = 2xy[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

 = 2x [pic 9][pic 10]

El problema que enfrentamos no es: dada una función.

y=f(x), encontrar su derivada; más bien, el problema es:

Si se da una ecuación tal como  = 2xy, encontrar de alguna manera una función y= f(x) que satisfaga la ecuación.[pic 11]

En una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.

Definición:

• Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables con respecto a una o más variables independientes, se dice entonces que es una ecuación diferencial.

• Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga a la variable independiente “x” la función incógnita y= y(x) y sus derivadas (,,…), es decir una ecuación de la forma f (,,…). = 0[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

En otras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la        derivada o diferencial de la función incógnita.

• A una ecuación en donde intervienen una función y sus derivadas se llama ecuación diferencial F (,,…).[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las 3 propiedades siguientes:

1. Clasificación según el tipo:

Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces se dice, que es una ecuación diferencial ordinaria

Ejemplos:

1. = - [pic 24][pic 25]

2. x + y  = U[pic 26][pic 27]

3.  =  – 2 [pic 28][pic 29][pic 30]

Clasificación según el orden

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación

Ejemplos:

       “Ecuación de segundo orden”[pic 31]

 + = 0                “Ecuación de cuarto orden”[pic 32][pic 33]

Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.

F (,,…).[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

F (,, …).[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

“El siguiente caso es un caso especial de la representación anterior”.

“Clasificación según la linealidad o no linealidad”

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la siguiente forma

an(x) + an-1 (x)  … a1  a0 (x) y = 0 “o” g (x)[pic 42][pic 43]

Ellas ecuaciones diferenciales se caracterizan por dos propiedades:

a) la variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de primer grado es decir, la potencia de cada termino en “y” es 1.

b) cada coeficiente depende solo de la variable independiente (x).

Lineal:

xdy + ydx = 0       “Primer orden”

 - 2 + y = 0    “Segundo orden”[pic 44][pic 45]

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