Definiciones básicas y terminología

1.1 Definiciones básicas y terminología

Dada la función y= f(x), la derivada  [pic 3]

Es también una función de “x” y se encuentra mediante alguna regla apropiada. Por ejemplo si y=  entonces    = D x u  o bien  = 2xy[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

 = 2x [pic 9][pic 10]

El problema que enfrentamos no es: dada una función.

y=f(x), encontrar su derivada; más bien, el problema es:

Si se da una ecuación tal como  = 2xy, encontrar de alguna manera una función y= f(x) que satisfaga la ecuación.[pic 11]

En una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.

Definición:

• Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables con respecto a una o más variables independientes, se dice entonces que es una ecuación diferencial.

• Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga a la variable independiente “x” la función incógnita y= y(x) y sus derivadas (,,…), es decir una ecuación de la forma f (,,…). = 0[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

En otras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la        derivada o diferencial de la función incógnita.

• A una ecuación en donde intervienen una función y sus derivadas se llama ecuación diferencial F (,,…).[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las 3 propiedades siguientes:

1. Clasificación según el tipo:

Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces se dice, que es una ecuación diferencial ordinaria

Ejemplos:

1. = - [pic 24][pic 25]

2. x + y  = U[pic 26][pic 27]

3.  =  – 2 [pic 28][pic 29][pic 30]

Clasificación según el orden

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación

Ejemplos:

       “Ecuación de segundo orden”[pic 31]

 + = 0                “Ecuación de cuarto orden”[pic 32][pic 33]

Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.

F (,,…).[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

F (,, …).[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

“El siguiente caso es un caso especial de la representación anterior”.

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