Derivada Definicion Basica

Derivadas

Sirven para buscar en una función u expresión un mínimo o un máximo en ganancias o pérdidas, también es el valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La aplicación de las derivadas

Derivación (matemática)

Para la derivación en cálculo, véase Derivada.

Para la técnica de análisis numérico, véase Derivación numérica.

Derivación.gif

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Índice [ocultar]

1 Definición de derivación

2 Ejemplos de derivación

2.1 La derivada parcial

2.2 La derivada direccional

3 Deriviación en variedades

4 Consecuencias

4.1 Propiedad de la derivación de una función localmente constante

4.1.1 Ejemplo

4.2 Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

4.3 Propiedad

5 Tipos de derivaciones

6 Referencias

6.1 Bibliografía

Definición de derivación[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y p \in M , llamaremos derivación en el punto p_{}^{} a

\forall \delta_p : \mathcal{F}(M) \longrightarrow{} \mathbb{R} aplicación \mathbb{R}-lineal, es decir:

\forall f,g \in \mathcal{F}(M), \forall \lambda \in \mathbb{R},

\delta_p^{}(g+f)= \delta_p(g)+ \delta_p(f)^{},

\delta_p^{}(\lambda f)=\lambda \delta_p(f)^{}.

y tal que \delta_p(f \cdot g) = \delta_p(f)g_{|p} + f_{|p}\delta_p(g), \forall f,g \in \mathcal{F}(M), es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

\mathcal{F}(M) es el conjunto de funciones diferenciables en M_{}^{}, y es un \mathbb{R}-álgebra conmutativa, (es un \mathbb{R}-espacio vectorial).

f_{|p}^{} es equivalente a f(p)_{}^{} , es decir, f_{}^{} evaluado en el punto p_{}^{}.

Ejemplos de derivación[editar]

La derivada parcial[editar]

Sea M= \mathbb{R}^n y p \in M, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

\begin{matrix} \frac{{\partial \; \cdot}}{{\partial x_i}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \;. \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}}_{|p} \end{matrix}

Demostración

Veamos primero que es \mathbb{R}-lineal, es decir, que \forall f,g \in \mathcal{F}(M) \; y \; \forall \lambda \in \mathbb{R} vemos que:

\frac{{\partial (f+g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}+\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p},

\frac{{\partial (\lambda g )}}{{\partial x_i}}_{|p}=\lambda \frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.

Veamos finalmente que es una derivación:

\frac{{\partial (f \cdot g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional[editar]

Sea M= \mathbb{R}^n ,\; p \in M \; y \; v \in M : || v ||=1, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

\begin{matrix} \frac{{\partial \cdot}}{{\partial v}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial v}}}_{|p} \end{matrix}.

Deriviación en variedades[editar]

Artículo principal: Aplicación progrediente

PlanoTangente.png

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y p \in M , llamaremos espacio tangente a M_{}^{} en p_{}^{} al \mathbb{R}-espacio vectorial de las derivaciones de M_{}^{} en p_{}^{}, notado por \mathcal{T}_p M , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a M_{}^{} en p_{}^{}.

Consecuencias[editar]

Propiedad de la derivación de una función localmente constante[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,

...