Matricez Y Determinantes

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MATRICES Y DETERMINANTES

¿QUÉ ES UNA MATRIZ?

Es algo muy simple, se trata de un conjunto de elementos (casi siempre números) debidamente colocados en filas y columnas.

Ejemplo:

4 -6 18 5

-5 -7 11 13

1 2 3 4

8 -8 10 14

22 -10 16 9

Esta matriz consta de 20 números colocados en filas ycolumnas.

El número de filas es 5 y el de columnas 4.

Comprobarás que (o números)

Para buscar un elemento indicamos primero la fila donde se encuentra y seguidamente la columna:

El número se halla en el lugar (5,2) ó (5 2)

El número 10 se halla en el lugar (4,3) ó (4 3)

¿Tiene alguna utilidad escribir datos en forma de filas y columnas, es decir, en forma de matriz?

Matrices las encontramos en la vida de cada día.

¿No has hecho alguna vez tu horario de clases?

La tabla que tienes más arriba es una matriz. En esa tabla o matriz puedes encontrar con facilidad la materia que tienes a la tercera hora los miércoles, por ejemplo.

Como ves, te sirves de la fila y la columna.

También te diriges a una tabla o matriz para ver como “marcha” tu equipo de fútbol favorito.

Si deseo saber los partidos empatados por el Lérida me dirijo a la fila donde se halla este equipo y después a la columna de EM.

Se pueden poner múltiples ejemplos. Como verás, el asunto de las tablas o matrices es algo que lo utilizamos con frecuencia.

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¿Para qué sirven las matrices?

Esta pregunta nos la podemos hacer puesto que no vamos a estudiar MATRICES para hacer unas tablas como las que hemos visto más arriba.

Sirven para otras cosas también, especialmente, para resolver ecuaciones de primer grado con muchas incógnitas.

ESCRIBIR UNA MATRIZ

Como podemos tener varias matrices, lo normal será dar nombre a cada una de ellas. Basta con designarla con una letra mayúscula.

Los elementos que contiene una matriz conviene escribirlos entre paréntesis:

Cada elemento, en este caso cada número ocupa un lugar determinado teniendo en cuenta su fila y columna, en este orden:

El 7 ocupa el número 1 de fila y 1 de columna, (1,1).

El 8 ocupa el número 2 de fila y 2 de columna, (2,2).

El – 2 ocupa el número 3 de fila y 1 de columna, (3,1).

Primero se tiene en cuenta el número de fila y en segundo lugar el de la columna.

(Puedes omitir las ‘comas’)

En la vida de cada día ¿dónde puedo ver esto de las matrices?

Como has leído anteriormente cuando has de resolver ecuaciones de primer grado con varias incógnitas:

Un sistema de ecuaciones de primer grado podría ser:

Tomando los coeficientes (con sus signos) de las incógnitas podemos escribir la siguiente matriz:

Con los términos independientes (los que se encuentren a la derecha del signo igual), podemos escribir la siguiente matriz:

Lo veremos mejor en los siguientes ejercicios, continuemos....

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Ejercicio #1

¿Qué lugar ocupa el número 4 en

Respuesta: (1 2)

A continuación tienes una matriz indicando con subíndices el lugar que ocupa cada elemento dentro de la misma. El primer número del subíndice se refiere al número de fila y el segundo número del subíndice al número de la columna:

DIAGONALES DE UNA MATRIZ CUADRADA

Se llama matriz cuadrada a la que tiene tantas filas como columnas.

Las matrices A y B que las acabas de estudiar son cuadradas porque tienen tantas filas como columnas.

Estas matrices tienen dos diagonales llamadas principal ysecundaria.

En el ejemplo que tienes debajo ves una matriz cuadrada (4 filas y 4 columnas).

Los elementos señalados con la línea roja componen ladiagonal principal.

Son los que ocupan los lugares (1 1),(2 2),(3 3) y (4 4):

Los elementos señalados con la línea azul componen ladiagonal secundaria.

Son los que ocupan los lugares (1 4),(2 3),(3 2) y (4 1).

Ejercicio #2

Escribe una matriz que tenga 3 filas y 3 columnas. Escribe los números que integran sus diagonales principal y secundaria.

Respuestas: 4,9,1: (1 1),(2 2),(3 3) y 3,9,6: (1 3),(2,3),(3,1)

Solución

En color rojo la línea de la diagonal principal.

En color azul la línea de la diagonal secundaria.

4, 9, 1: (1 1),(2 2),(3 3)

3, 9, 6: (1 3),(2,3),(3,1)

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TIPOS DE MATRICES

Matriz fila:

La que consta de una sola fila:

Matriz columna:

La que consta de una columna:

Matriz cuadrada:

La que tiene tantas filas como columnas:

Matriz rectangular:

La que tiene distinto número de filas que de columnas:

Matriz traspuesta:

La que se obtiene a partir de otra pero que tiene las filas por columnas. Fíjate bien en el ejemplo:

Tenemos la matriz siguiente:

Su traspuesta es:

La traspuesta se representa con una t o T por índice de la letra que representa el nombre de la matriz.

Ejercicio #3

¿Cuál es la matriz traspuesta de:

Respuesta:

Matriz nula:

La que todos sus elementos son iguales a cero:

Se la conoce también con el nombre de matriz cero.

Matriz opuesta:

Sabemos que el opuesto de 4 es – 4.

El opuesto de - 3 es 3

La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar de signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto, su nombre aparecerá con el signo opuesto:

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Matriz simétrica:

Supongamos la siguiente línea compuesta de rectas y curvas:

Una figura simétrica a ésta sería la que al doblar por un eje, todos los puntos coinciden:

En color rojo, el eje, lo podemos llamar eje de simetría. A su derecha su figura simétrica. Al doblar el papel por el eje de simetría todos los puntos de la línea poligonal de la izquierda del eje coinciden con sus puntos homólogos de la línea poligonal situada a la derecha de dicho eje.

Esto mismo nos sucede con las matrices simétricas.

En un pequeño trozo de papel escribe la siguiente matriz cuadrada:

Traza con una regla una línea que pase por la diagonal principal:

Dobla el papel por la raya roja y verás que el 2 coincide con el 2, el 3 con el 3 y el 5 con el cinco.

Esto sucede cuando una matriz es igual a su traspuesta:

Si cambias las filas de la matriz H por columnas obtienes su traspuesta HT.

Debes tener en cuenta que:

Ejercicio #4 ¿Es simétrica la matriz que tienes a continuación?

¿Por qué?

Comprueba.

Respuesta:

Sí porque es igual a su traspuesta. Trazando una línea por la diagonal principal hay coincidencia con sus elementos.

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Matriz antisimétrica:

Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.

Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a cero ya que no existe el , existe el cero. No existe el menos cero ni el más cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir la pera.

Conviene leer despacio para no liarnos.

Observa la matriz siguiente:

Se trata de una matriz antisimétrica porque

Comprueba y verás que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.

Ejercicio #5 Si trazamos una línea por la diagonal principal (eje de simetría) y doblásemos por ella el papel ¿coinciden los valores simétricos?

Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.

Matriz escalonada:

Se dice que una matriz es escalonada cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior:

Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior que es la primera.

Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la segunda.

Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la tercera.

Ejercicio #6 ¿Son escalonadas la matrices A y B:

Respuesta: Sí. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan a partir del comienzo de cada línea.

Ejercicio #7 ¿Es escalonada la matriz:

Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2ª. Si en la 3ª hubiera tres, entonces sí sería escalonada.

Matriz diagonal:

Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:

Matriz identidad:

Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz

...