Matrices Y Determinantes

ALGEBRA LINEAL

2) Matrices y Determinantes

2.1 Definición de matriz, notación, orden.

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos (particularmente números) que pueden contener variables numéricas o no numéricas.

En muchas situaciones de la vida diaria o del trabajo cotidiano es necesario agrupar una gran cantidad de información que involucra números con diferentes unidades.

Por ejemplo si tenemos que pagar la tenencia existen listados en forma de matriz en los cuáles podemos ver marca de auto vs. el año y saber cuánto se va a pagar.

En el caso del fútbol cada semana nos dan a conocer por medio de una matriz nombre de los equipos vs. cómo van los equipos (juegos jugados, juegos ganados, juegos empatados, juegos perdidos, goles a favor, goles en contra y puntos) donde se ven los números de cada equipo.

En el caso de una empresa se elabora una matriz, de lo que solicita cada cliente vs. tipo de producto para planear la producción de un tiempo dado semana, quincena o mes.

En el caso de una cadena comercial nacional se elabora una matriz donde se ven la ubicación de las sucursales vs artículos vendidos de los productos en un lapso de tiempo para el pronóstico de ventas. La matriz puede ser mensual. El análisis de esta información (de varios meses) ayuda a tomar decisiones sobre ampliaciones de sucursales, disminución y hasta de cierre.

En el caso de la elaboración de la nómina de una empresa se hace una matriz donde se anota el nombre del trabajador vs. el número de horas o días trabajados, el salario por día, suelto total, ISR, IMSS, y otros conceptos, para saber cuánto va a recibir en efectivo.

Los ejemplos anteriores son algunos de los miles que ocurren todos los días donde se usan las matrices. Otro dato importante es que en una matriz se concentra toda la información, la cual podría ser vista y analizada en su conjunto o en forma específica del mismo modo en que se usa un mapa para llegar a un lugar.

La notación de matrices es con letras mayúsculas como A, B, C, D, E, F,… y con el uso de paréntesis (┤) ó corchetes [┤], dentro de los cuales van los elementos conocidos como entradas. Las entradas colocadas en forma horizontal se les llama filas o renglones. Las entradas en forma vertical se les denomina columnas. Se usa las letras a,b,c,d,e,f,… para indicar escalares.

Columnas

A_mxn=├ ⏞((■(■(■(a_11@a_21 )&■(a_12@a_22 )@■(⋮@a_m1 )&■(⋮@a_m2 ))&■(■(⋯@⋯)&■(a_1n@a_2n )@■(⋱@⋯)&■(⋮@a_mn )))) ) } Filas ó renglones

El orden se refiere al tamaño de la matriz, es decir, es el número de renglones o filas contados de arriba hacia abajo y el número de columnas que se cuentan de izquierda a derecha. En la matriz anterior m indica el número de renglones, n el número de las columnas y se dice matriz A de m por n. En la siguiente lista de elementos complete lo que haga falta:

a_11 está en el renglón 1 y en la columna 1.

a_21 está en el renglón 2 y en la columna 1.

a_m1 está en el renglón ___ y en la columna 1.

a_12 está en el renglón 1 y en la columna ___.

a_22 está en el renglón ___ y en la columna 2.

a_m2 está en el renglón ___ y en la columna ___.

a_1n está en el renglón ___ y en la columna ___.

a_2n está en el renglón ___ y en la columna ___.

a_mn está en el renglón ___ y en la columna ___.

Observe que el primer subíndice de una entrada ó elemento se refiere al renglón y el segundo a la columna, esto significa que el elemento a_ij se encuentra en el renglón i y en la columna j. Los subíndices i y j sólo pueden ser enteros positivos. En el caso de matrices tenemos la misma situación ya que el primer número indica cuantos renglones tiene la matriz y el segundo nos señala el número de columnas. Veamos dos ejemplos:

A_3x2=(█( 5@ 2@-8)┤ ├ █( -1@ 4@ 6)) Es una matriz de 3 x 2, esto es, 3 renglones y 2 columnas.

B_2x4=(■(■(■(-4@ 0)&■(7@3))&■(■(-1@ 8)&■(-9@-2)))) Es una matriz de 2 x 4, esto es, 2 renglones y 4 columnas.

Escriba el tamaño de las siguientes matrices; los elementos de los renglones, los elementos de las columnas y señale la posición de cada elemento:

C=(■(3&-1@0& 1)) es una matriz cuadrada de 2 x 2 (son 2 renglones y 2 columnas). Los renglones de C son las líneas horizontales de números: 1er. renglón (■(3&-1)) y 2º. renglón (■(0&1)). Las

columnas de C son las líneas verticales de números: 1ª. columna (■(3@0)) y 2ª. columna (■(-1@ 1)), las posiciones son: c_11=3,c_12=-1,〖 c〗_21=0 y c_22=1.

D=(█(-8@ π@ 4)) es una matriz columna de 3 x 1 (son 3 renglones y 1 columna). Los renglones de D son las líneas horizontales de números: 1er. renglón (-8), 2º. renglón (π) y 3er. renglón (4). Las columnas de D son las líneas verticales de números: 1ª. columna (█(-8@ π@ 4)), las posiciones son: d_11=-8,d_21=π y 〖 d〗_31=4.

E=(█( √7@ 11@-1)┤ ├ █( 9@ 5@ 6)) es una matriz de 3 x 2 (son 3 renglones y 2 columnas). Los renglones de E son las líneas horizontales de números: 1er. renglón (■(√7&9)), 2º. renglón (■(11&5)) y 3er.

renglón (■(-1&6)). Las columnas de E son las líneas verticales de números: 1ª. columna (█(√7@ 11@-1)) y 2ª. columna (█( 9@ 5@ 6)); las posiciones son: e_11=√7, e_12=9,〖 e〗_21=11, 〖 e〗_22=5,

█( @e)_31=-1 y 〖 e〗_32=6.

A cualquier expresión como (■(√7&9)) , se le conoce como vector renglón ó matriz renglón, mientras que una expresión de la forma (█(√7@ 11@-1)) se le llama vector columna ó matriz columna.

F=(■(4&

...