Analisis Combinatorio

ANALISIS COMBINATORIO

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.

Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades.

*PRINCIPIOS FUNDAMENTALES*

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo:

1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir

2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros

3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10

4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión

5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas

6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Si un evento o suceso A puede ocurrir en forma independiente de m maneras diferentes, entonces el numero de maneras distintas en que puede suceder ambos sucesos es de m x n.

Ejemplo:

En la etapa final de fútbol de la primera división profesional.

4 equipos: América (A), Guadalajara (G), Cruz Azul (C), UNAM (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón).

De cuantas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares.

A: Campeonato de fútbol

M: Campeón: 4

N: Subcampeón: 3

m.n= 4.3= 12 maneras diferentes.

MÉTODO DEL ÁRBOL

PRINCIPIO DE ADICION

Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.

Ejemplo 1:

Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

Solución:

•Por el principio de adición:

Victoria ó Breña

6 formas + 8 formas = 14 formas

Ejemplo 2:

Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

Solución:

•Aplicando el principio de adición se tiene:

Bote, lancha, deslizador

3 ó 2 ó 1

# Maneras = 3 + 2 + 1 = 6

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomara de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos, si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamadas agrupaciones sin repetición y si alguna de ellas son iguales se digan que son agrupaciones con repetición, entre los métodos de conteo mas conocidos tenemos la permutación, variación y combinación.

*ORDENACIONES*

Se llaman ordenaciones de n objetos de tamaño r a los diferentes grupos ordenados que se pueden formar al escoger r objetos de un grupo de n (donde r<n), de tal manera que dos ordenaciones se consideran distintas si difieren en el orden de sus objetos o en el orden de ellos.

Ordenaciones con repetición

Son ordenaciones en dónde puede repetirse uno o varios objetos, por lo que es posible que el orden r de una ordenación con repetición sea mayor que el número n de objetos dados.

*PERMUTACIÓN*

Es un arreglo de todos 0o parte de un conjunto de objetos, considerando el orden en su ubicación, cuando en un arreglo solo entran una parte de los elementos en conjunto. Es importante resaltar que el orden es una característica importante de la permutación, cuando variamos el orden de los elementos o determinarlos.

Ejemplo: Determinar los siguientes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras A, B y C tomadas de 2 en 2.

3 x 2= 6 permutaciones.

ab

ac

ba

bc

ca

cb

TEOREMA I

PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS DIFERENTES

El número de permutaciones de n objetos tomados en grupos de k elementos siendo k menor que n y denotado P, estará dado por:

P= n!

(n-k!)

!=factorial

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