Del latín spatĭum

Del latín spatĭum, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.

Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

El concepto de espacio vectorial tiene sus orígenes más remotos en el siglo XVII, con ideas sobre matrices y sistemas de ecuaciones. El matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) suele ser señalado como el responsable de la primera formulación axiomática sobre el espacio vectorial, a finales del siglo XIX. Actualmente la representación gráfica de un espacio vectorial incluye a los vectores (con el símbolo de flecha) encadenados, con la unión de los extremos.

Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales, pueden mencionarse las rutinas de compresión de imágenes o sonido o la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.

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TEMA 4.2 DEFINICION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo:

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . escribir como combinación lineal de y , siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner comocombinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

Esta

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