Del latín spatĭum

Del latín spatĭum, el espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible.

Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores. Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación.

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

El concepto de espacio vectorial tiene sus orígenes más remotos en el siglo XVII, con ideas sobre matrices y sistemas de ecuaciones. El matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) suele ser señalado como el responsable de la primera formulación axiomática sobre el espacio vectorial, a finales del siglo XIX. Actualmente la representación gráfica de un espacio vectorial incluye a los vectores (con el símbolo de flecha) encadenados, con la unión de los extremos.

Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales, pueden mencionarse las rutinas de compresión de imágenes o sonido o la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.

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TEMA 4.2 DEFINICION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo:

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . escribir como combinación lineal de y , siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner comocombinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

Esta base formada por los vectores , y se denomina base canónica.

Ejemplo:

¿Para qué valores de a los vectores , y forman unabase?

Para a ≠ 1, los vectores forman una base.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.

BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define

Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M22

Se vio que generan a

, entonces es evidentemente que . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.

TEOREMA: si es una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que

Sea dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)

TEOREMA: suponga que dimV=n. si

Entonces, restando se obtiene la ecuación pero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

Así, y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas y como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.

Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra lineal.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn

En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Sea entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)

Sea dimV=n. cualquier conjunto de

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