Gradiente

Un gradiente geométrico es una serie de pagos periódicos, en la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante que representaremos por 1+G. Sí G es positivo el gradiente será creciente, sí G es negativo el gradiente será decreciente y, sí G=0 el gradiente se convierte en una anualidad.

En un gradiente geométrico:

El primer pago será: R1

El segundo pago será: R2=R1(1+G)

El tercer pago será: R3=R2(1+G)=R1(1+G)2

El último pago será: Rn=Rn-1(1+G)=R1(1+G)n-1

Por lo tanto: Rn=R1(1+G)n-1

Fórmula del vapor presente del gradiente geométrico

El planteo de la ecuación de valor será:

"VP=R" 〖"(1+i)" 〗^"-1" "+R" ("1+G" ) ("1+i" )^"-2" "+R" 〖"(1+G)" 〗^"2" 〖"(1+i)" 〗^"-3" "+⋯+R" 〖"(1+G)" 〗^"n-1" 〖"(1+i)" 〗^"-n"

Al multiplicar la ecuación anterior por 〖(1+G)(1+i)〗^(-1), tenemos:

"VP" 〖"(1+G)(1+i)" 〗^"-1" "=R" 〖"(1+G)(1+i)" 〗^"-2" "+R" ("1+G" )^"2" ("1+i" )^"-3" "+R" 〖"(1+G)" 〗^"3" 〖"(1+i)" 〗^"-4" "+⋯+R" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n-1"

Sustrayendo la primera ecuación de la segunda, tenemos:

"VP" 〖"(1+G)(1+i)" 〗^"-1" "-VP=R" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n-1" "-R" 〖"(1+i)" 〗^"-1"

Factorizando se tiene:

"VP" 〖"[(1+G)(1+i)" 〗^"-1" "-1]=R" 〖"(1+i)" 〗^"-1" "[" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" "-1]=" ("R[" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" "-1]" )/"(1+i)" " "

"VP=" ("R[" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" "-1]" )/("(1+i)[(1+G)" 〖"(1+i)" 〗^"-1" "-1]" ) "=" ("R[" 〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" "-1]" )/"[(1+G)-(1+i)]" " "

Y finalmente se llega a:

"VP"=("R" [〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" -"1]" )/("(1+i)[(1+G)" 〖(1+i)〗^(-1) "-1]" ) "=" ("R" [〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" -"1]" )/"G-i" " si G≠i "

Cuando G=i, se presenta una indeterminada, que puede ser removida usando la regla de L’ôpital y derivando con respecto a i:

lim┬(i→G)⁡〖("R" [〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" -"1]" )/"G-i" =〗 lim┬(i→G)⁡〖R (d/di[〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n" -"1]" )/"d/di(G-i)" 〗=〖R lim┬(i→G)〗⁡〖(-n[〖"(1+G)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n-1" "]" )/"1" =R[-n[〖"(1+i)" 〗^"n" 〖"(1+i)" 〗^"-n-1" "]=" (R(n))/((1+i))〗

Por lo tanto podemos

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