Vector Gradiente
orlandogarzon1312 de Noviembre de 2012
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La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario
y el vector
Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f.
Definición 1.2
Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante
, es el vector
Otra notación para el gradiente es grad f(x,y)
Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como
En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.
Teorema 1.2
Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es
Ejemplo 1.3
Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)
Solución
Un vector en la dirección especificada es
y un vector unitario en esta dirección es
Como , el gradiente (-1,3) es
En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es
Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema 1.3.
Aplicaciones del gradiente
Teorema 1.3
Si f es una función diferenciable en el punto (x,y)
1) Si
, entonces
para todo u.
2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por
.
El valor máximo de
es
.
3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por -
.
El valor mínimo de
es -
.
Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) denota la altitud del esquiador, entonces - indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña).
Como ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualqueira de una placa metálica plana. En este caso, grad T da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (x,y), como se señala en el ejemplo 1.4.
Ejemplo 1.4
La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por
midiendo x e y en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?
Solución
El gradiente es
Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por
como se muestra en la figura 5.5, y que la razón de crecimiento es
por centímetro
Curvas de nivel
figura 1.5
Dirección de más rápido crecimiento en (2,-3)
La solución que se presenta en el ejemplo 1.4 puede resultar engañosa. A pesar de que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, -3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más rápido crecimiento puede cambiar.
Ejemplo
...