Números Aleatorios Y Pseudoaletorios

2.1 Números aleatorios: definición, propiedades, generadores y tablas

Introducción:

Los sistemas reales frecuentemente tienen valores de tiempo y cantidades que varían dentro de un rango y de acuerdo a una función específica de densidad, definida por una distribución de probabilidad. Por ejemplo, si el tiempo que se tarda una máquina en procesar una pieza se distribuye entre 2.2 minutos y 4.5 minutos, esto se definirá como una distribución de probabilidad en el modelo de simulación. Durante la simulación, cada vez que una pieza entre a esta máquina y sea procesada, el simulador generará un número al azar entre 2.2 y 4.5 minutos para simular el tiempo de procesamiento de esa pieza. Cada vez que generamos un valor a partir de una distribución, a ese valor se le llama variable aleatoria. Para generar variables aleatorias, es necesario utilizar números aleatorios.

Definición:

Un número aleatorio es aquél que es generado a partir de la distribución Uniforme U(0,1).

Propiedades y generadores de números aleatorios.

• Su generación se basa en el uso de mecanismos físicos. Entre las distintas propuestas se incluyen el recuento de partículas emitidas por una explosión, el lanzamiento de monedas, aparatos mecánicos basadas en ruedas de la fortuna, etc.

• Tienen el inconveniente de ser generados lentamente. Además, los números aleatorios no pueden almacenarse de forma automática. Por tanto, se deben buscar procedimientos algorítmicos computacionales que generen números aleatorios de forma muy rápida y los puedan almacenar sin utilizar mucha capacidad de memoria.

Una de las características más poderosas de la simulación es la habilidad de imitar el comportamiento aleatorio que es característico de la mayoría de los sistemas reales. Para poder imitar este comportamiento aleatorio la simulación necesita utilizar un generador de números aleatorios, el cual es responsable de producir un ciclo grandísimo e independiente de números aleatorios.

Hay que aclarar que los números U(0,1) producidos por un generador de números aleatorios (algoritmo computacional) no son aleatorios en el verdadero sentido de la palabra, ya que el generador puede reproducir la misma secuencia de números una y otra vez, lo cual no indica un comportamiento aleatorio. Por esta razón, a los números U(0,1) producidos por un generador (algoritmo) se les llama pseudoaleatorios.

2.2 Números pseudoaleatorios.

Introducción:

Casi todas las aplicaciones comerciales tienen varios generadores de números pseudoaleatorios que pueden generar un conjunto muy grande de números sin mostrar correlación entre ellos, para ello se utilizan métodos preestablecidos que garantizan esta demanda.

Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es preciso generar una serie de números que sean aleatorios por sí mismos, y que su aleatoriedad se extrapole al modelo de simulación que se está construyendo. En la construcción del modelo los números aleatorios juegan un papel relevante.

Unas de las primeras tareas que es necesario llevar a cabo consiste en analizar si los números que se utilizaran para “correr” o ejecutar la simulación son realmente aleatorios o no; por desgracia, precisar lo anterior con absoluta certidumbre resulta muy complicado, ya que para ello se tendría que generar un número infinito de valores que permitan comprobar la existencia de correlaciones entre ellos. Esta actividad sería muy costosa y tardada, volviendo impráctico el uso de la simulación aun con las computadoras más avanzadas.

Tomando en cuenta lo anterior, se puede asegurar, con altos niveles de confiabilidad que el conjunto de números que se utilizarán en la simulación se comportan de manera muy similar a un conjunto de números totalmente aleatorios; por ello es que se les denomina números pseudoaleatorios.

Un número pseudoaleatorio es un número U(0,1) producido por un algoritmo matemático.

Propiedades de los números pseudoaleatorios

Es deseable que los números pseudoaleatorios uniformes posean las siguientes características:

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes.

3. Reproducibles.

4. Periodo largo.

5. Generados mediante un método rápido.

6. Generados mediante un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora.

Generar un conjunto de números pseudoaleatorios es una tarea relativamente sencilla, para ello, el lector sólo tiene que diseñar su propio algoritmo de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritmo que genere un conjunto de números pseudoaleatorios con periodo de vida suficientemente grande (N) y además pase sin problema las pruebas de uniformidad e independencia, lo cual implica evitar problemas como éstos:

• Que los números del conjunto no estén uniformemente distribuidos, es decir, que haya demasiados números en un subintervalo y otro muy pocos o ninguno.

• Que los números pseudoaleatorios sean discretos en lugar de continuos.

• Que la media del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que esté por arriba o por debajo de ½.

• Que la varianza del conjunto sea muy alta o muy baja, es decir, que se localice por arriba o por debajo de 1/12.

En ocasiones se presentan también anomalías como números pseudoaleatorios seguidos por arriba o por debajo de la media; secuencia de números por arriba de la media, seguida por una secuencia por debajo de la media, y viceversa, o varios números seguidos en forma ascendente o descendente.

Existen varios métodos para generar números pseudoaleatorios. A continuación se presentan los más importantes.

El Método de Centros al Cuadrado (Método de los cuadrados medios)

Este método es debido a von Neumann y tiene fundamentalmente sólo interés histórico. El método de centros al cuadrado se apega a la siguiente metodología:

1. Inicie con un número entero positivo de 4 (2n) dígitos y llámele Z0 (X0), llamado semilla.

2. Eleve Z0 (X0) al cuadrado

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