Series Geométricas Y Aritmeticas

Actividad evaluable 8

Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente:

I. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Determina si las siguientes secuencias o series son geométricas, aritméticas o ninguna de las dos.

a) Geométrica

b) Geométrica

c) Aritmética

d) Geométrica

e) Aritmética

2. Determina si las series geométricas o aritméticas son convergentes o divergentes.

a) Converge

b) Diverge

c) Diverge

d) Diverge

e) Diverge

3. Encuentra la enésima suma parcial de las siguientes series:

a) a=4, d=7, n=100, Sn=?

an = a + (n - 1)d

an = 4 + (100 - 1)(7)

an = 4 + (99)(7)

an = 4 + 693

an = 697

Sn = (n/2)(a + an)

Sn = (100/2)(4 + 697)

Sn = (50)(701)

Sn = 35,050

b) a= e-1 = 1/e , r= e-1 = 1/e , n=50,

Sn=?

Sn = a (1 – rn ) / 1 – r

Sn = e-1 (1 – (e-1) 50 ) / 1 - e-1

Sn = e-1 (1 - e-50) / 1 - e-1

4. Un cultivo de bacterias duplica su número cada 3 horas. Si el cultivo tiene una cantidad inicial de 60 bacterias, ¿cuál será la población en 24 horas?

a= 60 , r=2 , n=8,

Sn = ?

Sn = 60 (1 – 28 ) / 1 – 2

Sn = 60(1 – 256 ) / -1

Sn = 60(-255) / -1

Sn = -15,300 / -1

Sn = 15,300

II. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas o textos, información acerca de series armónicas y sus criterios de convergencia. Elabora un reporte para presentar esta información.

R= La serie armónica y la serie de los inversos de los números primos

Introducción

En algún post de Gaussianos se ha hablado ya de la serie armónica:

En este post vamos a ver una sencilla demostración de la divergencia de esta serie1. Además veremos también una demostración (algo más complicada) de la divergencia de la serie de los inversos de los números primos, hecho que además del interés que tiene por sí mismo sirve de demostración (una más) de la infinitud del conjunto de los números primos.

Demostración de la divergencia de la serie armónica

La demostración que vamos a ver sobre la divergencia de la serie armónica es bastante sencilla y al parecer se la debemos a Nicolás Oresme:

Hemos obtenido que la serie armónica es mayor que una serie que es claramente divergente. Por tanto la misma serie armónica debe ser también divergente.

Divergencia de la suma de los inversos de los números primos

Aclarando desde este momento que si una suma o producto tiene como índice nos referiremos al conjunto de los números primos vamos a demostrar que es divergente. Como se tiene que:

no podemos utilizar de forma tan directa la divergencia de la serie armónica para comprobar este resultado, aunque este hecho será importante para dicha demostración. Otro resultado fundamental para la misma es lo que se conoce como fórmula del producto de Euler, que establece lo siguiente:

La demostración de este hecho podéis verla aquí.

Tomando en esta fórmula obtenemos la igualdad que vamos a utilizar en nuestra demostración:

Vamos ya con nuestra

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