Todos los días los administradores toman decisiones personales

UNIDAD II

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN LÍNEAL

Todos los días los administradores toman decisiones personales y profesionales basadas en predicciones de sucesos futuros. Para hacer estas predicciones, se basan en la relación (intuitiva y calculada) entre lo que ya se sabe y lo que debe estimar. Si los responsables de la toma de decisiones pueden determinar cómo lo conocido se relaciona con el evento futuro, pueden ayudar considerablemente al proceso de toma de decisiones, que es el objetivo, cómo determinar la relación entre variables.

        La regresión y los análisis de correlación nos mostrarán cómo determinar tanto la naturaleza cómo la fuerza de una relación entre dos variables.

        El término regresión fue utilizado por primera vez como un concepto estadístico en 1877 por Francis Galton. Éste hizo un estudio que mostró que la altura de los niños nacidos de padres altos tenderá a retroceder o regresar hacia la altura media de la población. Designo la palabra regresión como el nombre del proceso general de predecir una variable (la altura de los niños) de otra (la altura del padre).

En el análisis de regresión, desarrollaremos una ecuación de estimación, esto es, una fórmula matemática que relaciona las variables conocidas con la variable desconocida. Entonces, después de que hayamos aprendido el patrón de esta relación,,podemos aplicar el análisis de correlación para determinar el grado en el que están relacionadas las variables. El análisis de correlación, entonces nos dice qué tan bien la ecuación de estimación realmente describe la relación.

TIPOS DE RELACIONES

Variables independientes y dependientes

La regresión y los análisis de correlación se basan en la relación, o asociación, entre dos o más variables, La variable o variables conocida(s) se llama variable independiente. La variable que tratamos de predecir es la variable dependiente.

Por ejemplo los científicos saben que existe una relación entre las ventas anuales de latas de aerosoles  y la cantidad de fluorocarbonos liberados en la atmósfera cada año. Si estudiáramos está relación, “el número de latas de aerosol vendidas cada año”seria la variable independiente y “la cantidad de fluorocarbonos liberados anualmente” sería la variable dependiente.

Relación directa entre X y Y 

El ejemplo citado anteriormente es una ilustración sobre asociaciones directas entre variables dependientes e independientes. Al incrementarse la variable independiente, la variable dependiente también se incrementa.

Podemos representar una relación directa semejante al ubicar la variable independiente en el eje  X y la variable dependiente en el eje Y. Note cómo la línea sube cuando X toma valores más y más grandes. Se dice que la pendiente de esta línea es positiva, porque Y aumenta al aumentar X, como se observa en la siguiente figura.

[pic 1]

Relación inversa entre X y Y

Las relaciones también pueden ser inversas en vez de directas. En estos casos la variable dependiente decrece al aumentar la variable independiente. Por ejemplo, el gobierno asume que existe una asociación inversa semejante entre el gasto mayor anual de una compañía para dispositivos anticontaminantes y las menores emisiones contaminantes. Este tipo de relación se ilustra en la siguiente figura y se caracteriza por pendiente negativa (la variable dependiente Y disminuye al aumentar la variable independiente X).

[pic 2]

A menudo encontramos una relación causal entre variables, esto es, la variable independiente “ocasiona” que la variable dependiente cambie.

Por esta razón es importante que considere las relaciones encontradas por la regresión como relaciones de asociación pero no necesariamente de causa y efecto. A menos que tenga razones especificas para creer que los valores de la variable dependiente son ocasionados por los valores de las variables independientes, no infiera causalidad de las relaciones que encuentra mediante la regresión.

1. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN Y ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Diagrama de dispersión

El primer paso en la determinación de si existe relación entre dos variables es examinar la gráfica de los datos observados (o conocidos). Esta gráfica, o esquema, se llama diagrama de dispersión.

Un diagrama de dispersión nos puede dar dos tipos de información. Visualmente, podemos buscar patrones que indiquen que las variables están relacionadas. Entonces, si esto sucede, podemos ver que tipo de línea, o ecuación de estimación, describe esta relación.

EJEMPLO:

Supongamos que el director de admisiones universitario nos pide determinar si existe alguna relación entre las calificaciones de un estudiante en su examen de admisión y el promedio de puntos de grado acumulativo (PGA) después de su graduación. El administrador ha acumulado una muestra aleatoria de datos de los registros de la universidad, que se muestra en la siguiente tabla:

[pic 3][pic 4]

Trazo o ajuste de una línea recta a través de un diagrama de dispersión

En la gráfica anterior podemos ver porque llamamos así al diagrama de dispersión. El patrón de puntos resulta que cada pareja de datos se ha registrado como un solo punto. Cuando vemos todos estos puntos juntos, podemos visualizar la relación. Es común intentar trazar estas líneas de forma tal que un número igual de puntos caiga en cada lado de la línea.

La interpretación de la línea trazada a través de los puntos de datos representa una relación directa, porque Y se incrementa al incrementarse X. Como los puntos de datos están relativamente cerca de esta línea, podemos decir que existe un alto grado de asociación entre las calificaciones de exámenes y el PGA acumulativo. Para la figura del ejercicio se representa una relación lineal.

En las siguientes graficas se muestran algunos de los tipos de relaciones que existen.

En las gráficas a y b se muestran los casos de relaciones lineales directas e inversas. Las gráficas c y d son ejemplos de relaciones curvilíneas que demuestran las asociaciones directas e inversas entre variables. La gráfica e ilustra la relación lineal inversa con un patrón de puntos ampliamente disperso. Esta mayor dispersión indica que existe un menor grado de asociación entre variables independientes y dependientes que el que existe en la grafica b. El patrón de puntos de la gráfica f parece indicar que no existe relación entre las dos variables; por tanto, conocer el pasado referente a una variable no nos permitirá predecir ocurrencias futuras del otro.

[pic 5][pic 6]

[pic 7][pic 8]

[pic 9][pic 10]

Estimación mediante la línea de regresión

En el diagrama de dispersión utilizado en el ejemplo, la línea de regresión fue colocada de una visual entre los puntos de datos.

Ahora se calculará la línea de regresión de una manera más precisa, usando una ecuación que relaciona las dos variables matemáticamente.

La ecuación para una línea recta donde la variable dependiente Y está determinada por la varianza dependiente X es:

[pic 11]

[pic 12]

donde:

Y = Variable dependiente

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