INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)

La idea central de la interpolación segmentaria o interpolación por Splines es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. En otras palabras podemos decir que una función de Splines está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo, y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Funciones Splines de grado 1:

Dado los n+1 puntos

Una función Splines de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta. Ejemplo:[pic 1]

Entonces tenemos:[pic 2]

Donde:[pic 3]

Entonces se define como: [pic 4]

Funciones para Splines de grado 2:

Para explicarlo de una mejor manera es necesario poner un ejemplo como:

En la cual formamos 3 intervalos es decir: [3,4.5]    [4.5,7]    [7,9]

Con esto definimos la función polinomial de grado 2 como:[pic 5]

Por lo tanto se debe cumplir que:

S(3) = 2.5,    S(4.5)=1,     S(7)=2.5   y   S(9)=0.5

Tomando en cuenta esto se formaran las siguientes ecuaciones:

[pic 6]

Dando un total de 6 ecuaciones y 9 incógnitas

El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas  es decir que la Splines tenga derivada continua de orden k-1=1. Calculamos la primera derivada:[pic 7]

Entonces decimos que las posibles discontinuidades son x=4.5 y x=7  y para que s’(x) sea continua tiene que cumplir que: 2ª1(4.5)+b1=2ª2(4.5)+b2

Dando un total de 8 ecuaciones vs 9 incógnitas dándonos la libertad de escoger cualquier incógnita por comodidad escogemos a1=0. De esta forma seria una ecuación de 8 con 8 incógnitas:[pic 8]

        [pic 9] 

[pic 10] 

De manera matricial:

[pic 11]

Obtenemos la siguiente solución:[pic 12]

Funciones Splines cubicas: 

Para llegar a un mejor entendimiento  escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3) dados los n+1 datos:

Una Spline que interpola estos datos  es una función S(x) definida como:[pic 13]

Donde cada Si(x) es un polinomio  cubico; Si(Xi)=Yi, para toda i=0,1,…n y tal que S(X) tiene primera y segunda derivadas continuas en [X0,Xn]

Bibliografía

∙ Tapia Sánchez, G. (Ed.) (2014) Análisis numérico: Introducción a los métodos numéricos

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