INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)
Enviado por awdrgy141 • 25 de Junio de 2021 • Documentos de Investigación • 382 Palabras (2 Páginas) • 237 Visitas
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINES)
La idea central de la interpolación segmentaria o interpolación por Splines es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. En otras palabras podemos decir que una función de Splines está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo, y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
Funciones Splines de grado 1:
Dado los n+1 puntos
X | X1 | X2 | … | Xn |
Y | Y1 | Y2 | … | Yn |
Una función Splines de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta. Ejemplo:[pic 1]
Entonces tenemos:[pic 2]
Donde:[pic 3]
Entonces se define como: [pic 4]
Funciones para Splines de grado 2:
Para explicarlo de una mejor manera es necesario poner un ejemplo como:
X | 3 | 4.5 | 7 | 9 |
Y | 2.5 | 1 | 2.5 | 0.5 |
En la cual formamos 3 intervalos es decir: [3,4.5] [4.5,7] [7,9]
Con esto definimos la función polinomial de grado 2 como:[pic 5]
Por lo tanto se debe cumplir que:
S(3) = 2.5, S(4.5)=1, S(7)=2.5 y S(9)=0.5
Tomando en cuenta esto se formaran las siguientes ecuaciones:
[pic 6]
Dando un total de 6 ecuaciones y 9 incógnitas
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas es decir que la Splines tenga derivada continua de orden k-1=1. Calculamos la primera derivada:[pic 7]
Entonces decimos que las posibles discontinuidades son x=4.5 y x=7 y para que s’(x) sea continua tiene que cumplir que: 2ª1(4.5)+b1=2ª2(4.5)+b2
Dando un total de 8 ecuaciones vs 9 incógnitas dándonos la libertad de escoger cualquier incógnita por comodidad escogemos a1=0. De esta forma seria una ecuación de 8 con 8 incógnitas:[pic 8]
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