Interpolacion

INTERPOLACION.

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.

En la siguiente tabla se recogen las presiones de vapor de agua en función de la temperatura:

x: temperatura (Cº) 8 25

y: presión (mm Hg) 9.3 32.2

a) Calcula por interpolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 20 ºC

b) Calcula por extrapolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 5 ºC

Para poder resolver ambos apartados necesitamos hallar la función de interpolación lineal asociada al problema.

Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos de la tabla:

(x0 , y0) = (8 , 9.3)

(x1 , y1) = (25 , 32.2)

Obtenemos la función de interpolación lineal:

a) Interpolando x = 20 obtenemos:

b) Extrapolando x = 5 obtenemos: f(4) = 4 + 1 = 5

EXTRAPOLACION.

Es el proceso de estimar más allá del intervalo de observación original, el valor de la variable en base a su relación con otra variable. Es similar a la interpolación, la cual produce estimados entre las observaciones conocidas, a diferencia de esta la extrapolación es sujeta a una mayor incertidumbre y a un mayor riesgo de producir resultados insignificantes. Extrapolación también puede significar extensión de un método, asumiendo que se pueden aplicar métodos similares.

INTERPOLACION LINEAL.

consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal.

Sean dos puntos (x1, y1) y (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y , para un valor x tal que x1<x <x3.

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal…

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1.

Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:

De igual forma podemos determinar por ejemplo que:

o lo que es equivalente

Despejando y obtenemos que:

Algunas propiedades básicas de las proporciones son:

En toda Proporción se cumple que

I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos.

II) Alternar Extremos:

III) Alternar Medios:

IV) Permutar:

V) Invertir:

VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:

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