La Elipse

En coordenadas cartesianas[editar] Forma cartesiana centrada en origenLa ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

[editar] Forma cartesiana centrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

[editar] En coordenadas polares[editar] Forma polar centrada en origenEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:

(epc 2)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

[editar] Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:

(501)

Para el otro foco:

(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:

(503) }

El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

[editar] Formas paramétricasLa ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:

con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es

.

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:

con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .

[editar] Área interior de una elipseEl área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.[4]

[editar] Perímetro de una elipseEl cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

[editar] Propiedades notablesLa elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

[editar] La elipse como cónicaLa elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro

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