Act 6 Ecuaciones Dif

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada

ecuación:

dy/dx⁡〖 + 〗 cos⁡〖 (y)〗=0

Es una ecuación No – Lineal porque no hay una función de “ x” que multiplique a una de “ y “ o sencillamente porque la función “ cos “ no depende solo de x sino también de y.

Ecuación de primer orden por que aparece la primera derivada como orden máximo de derivación.

y"+y=0

Es una ecuación lineal porque la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente.

Ecuación de segundo orden ya que tiene una segunda derivada.

( d^2 y)/〖dx〗^2 +dy/dx⁡〖 〗- 5 y= e^x

Es una ecuación lineal porque la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente.

Ecuación de segundo orden ya que tiene una segunda derivada.

(y-x)dx+4 xdy=0

Es una ecuación lineal porque la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente.

Ecuación de primer orden por que aparece la primera derivada como orden máximo de derivación.

E. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

dx/dy+y^2+x/y-1/x^2 =0

Asumimos que

y^'=dy/dx

Solución:

dx/dy+y^2+x/y-1/x^2 =0

Sacamos la derivada de y=1/x

y^'=-1/x^2

Ahora sustituimos el valor de y en la ecuación inicial.

-1/x^2 = - (1/x)^2- x/((1/x) )+ 1/x^2

Ahora simplificamos

-1/x^2 = -1/x^2 -1/x^2 +1/x^2

Como respuesta tenemos

-1/x^2 = -1/x^2

De lado y lado de la ecuación tenemos dos expresiones iguales y así demostramos que y=1/x si es solución de la ecuación

dx/dy+y^2+x/y-1/x^2 =0

Una segunda solución desarrollada en este punto es la siguiente.

Se realiza la derivada de y= 1/x

y=x^(-1)

dy/dx⁡〖 =-1x^(-2) 〗

dy/dx= -1/x^2

Se reemplaza la derivada en la ecuación diferencial, entonces:

(-1/x^2 )+ y^2+y/x- y/x^2 =0

Se suman términos semejantes

y^2+y/x- y/x^2 =0

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