ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.) APLICACIONES

INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

En la vida cotidiana, se necesita de la aplicación del conocimiento sobre ecuaciones diferenciales ya que es una herramienta fundamental para aplicarlo en cada una de las

Especialidades de la ingeniería, economía, medicina, etc.

Su aplicación se basa en la determinación de modelos matemáticos representados mediantes variables independientes y dependientes, ilustrados mediantes gráficas representando de manera abstracta a la realidad en los diferentes campos de la actividad humana.

Podemos mencionar como ejemplos su aplicación en el diseño de unas estructuras metálicas, La cantidad de componentes químicos que se necesita para elaborar un fármaco, para determinar la cantidad de radioactividad que puede afectar a una comunidad, etc.

CAPACIDAD

Resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias dentro de aplicaciones de contexto real.

DESARROLLO TEÓRICO-PRÁCTICO

3.1. DEFINICIÓN. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta materia nos ayudara a entender mejor los fenómenos naturales

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar básicamente atendiendo a dos criterios.

TIPO:

Si la función incógnita contiene una única variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria, abreviadamente E.D.O.

Ejemplo de ecuaciones diferenciales ordinarias:

En otro caso, cuando la función incógnita contiene dos a más variables independientes, a la ecuación se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales.

Ejemplo de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

ORDEN: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

Ejemplo

(d^2 y)/(dx^2 )+y=0,

(d^2 y)/(dx^2 )+5(dy/dx)^3-4y=e^x

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

En el curso nos restringiremos al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria general de orden

Diremos que una función es una solución de la ecuación diferencial si la ecuación se satisface sustituyendo en ella y sus derivadas por y sus derivadas respectivas.

3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS

Por lo común es deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, puede ser físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción de este fenómeno se le llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos en mente. Por ejemplo, es posible que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de poblaciones animales en ese sistema, o bien, se podría fechar fósiles al analizar la desintegración de una sustancia radiactivo ya sea en el fósil o en el estrato en el que se descubrió. Veamos algunos ejemplos para entender mejor.

A continuación se presentan algunos de los modelos más conocidos y utilizados en la realidad, recuerda que la capacidad que debes lograr es: analizar estos modelos u otros que Ud. Investigue en el diseño de nuevas aplicaciones de contexto real, por lo que el primer paso que debe realizar es analizar los modelos presentados en esta sesión, puede utilizar para ello gráficos y los conocimientos que tiene de funciones y derivadas.

DINAMICA POBLACIONAL

El economista Ingles Thomas Malthus fue uno de los primeros que intento modelar el crecimiento poblacional humano por medio de las matemáticas en 1798. Básicamente el fundamento del modelo Maltusiano es la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento.es decir, mientras más gente haya en el tiempo t más gente habrá en el futuro. Esto lo podemos escribir matemáticamente de la siguiente manera:

Donde k es una constante de proporcionalidad. Este es un modelo muy simple que no toma en cuenta muchos factores que pueden afectar a las poblaciones humanas respecto a su crecimiento o su disminución (por ejemplo inmigración o emigración), pero resultó muy útil para predecir la población de estados Unidos durante los años 1790 – 1860. En realidad son pocas las poblaciones que crecen a la velocidad que describe esa ecuación, pero todavía se usa para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo.

Ejemplo 1

Se sabe que el tamaño de la población de cierta bacteria al cabo de 4 horas es el triple de la población inicial. Halle el número de bacterias que habrá en el cultivo transcurrido 10 horas.

Solución

Plantee la ecuación diferencial que modele el problema Si denota el número de bacterias en el tiempo

entonces su velocidad de crecimiento está dado por

Separe cada variable con su respectivo diferencial y luego integre dP/P=k dt

Integramos a ambos lados tenemos

Ln(P(t) )=kt+C

P(t)=e^((kt+C) )=C.e^kt

Use la condición inicial para hallar la constante de integración Haciendo uso del dato tenemos

P(4)=3P(0)

C.e^4k=3C

4k=Ln(3)

k=0.27

Conclusión Luego P(t)=P_0 e^0.27t.

Como en nuestro problema nos piden hallar el número de bacterias que habría después de 10 horas, tenemos que

P(10)=15.59 P_0

Antes de continuar con los siguientes ejemplos, analicemos gráficamente la solución para diferentes valores de .

¿Qué ocurre Con la razón de cambio en (1), si ?.......................................Grafique sus resultados:

¿Qué ocurre Con la razón de cambio en (1), si ?........................................Grafique sus resultados:

¿Qué ocurre Con la razón de cambio en (1), si ?.......................................Grafique sus resultados:

Ejemplo 2.

La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años?

Solución

Plantee la ecuación diferencial que modele el problema

Separe cada variable con su respectivo diferencial y luego integre

Use la condición inicial para hallar la constante de integración

Conclusión

DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

El núcleo de un átomo consiste en combinaciones de protones y neutrones. Muchas de las combinaciones de estos protones y neutrones suelen ser inestables, es decir, los átomos se desintegran o transmutan en átomos de otras sustancias. Se dice que tales núcleos son radiactivos. Para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva, se debe suponer que la rapidez a la que se desintegra los núcleos de una sustancia es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número de núcleos) de la sustancia restante en el tiempo

Observemos que (1) y (2) son exactamente lo mismo. La diferencia radica solamente en la interpretación de los símbolos y las constantes de proporcionalidad.

Los modelos matemáticos suelen ir acompañados de ciertas condiciones adicionales. En nuestros ejemplos se espera conocer la población inicial y la cantidad inicial de sustancia radiactiva en reserva. Si el tiempo inicial se toma entonces tendríamos que y , es decir un modelo matemático puede consistir en un modelo de valores iniciales.

Ejemplo.

Cuando t = 0, había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda después de 2 horas.

Solución

Plantee la ecuación diferencial que modele el problema

Separe cada variable con su respectivo diferencial

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