Introducción A Las Ecuaciones Diferenciales Parciales

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

6.1 Definiciones

Ecuaciones Diferenciales Parciales

En matemáticas se entiende por ecuación diferencial parcial (EDP) como una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables, y puede presentarse como cualquier expresión de la forma:

(15.1)

Que contenga varias variables independientes x, y…, una función incógnita u y sus derivadas parciales sucesivas

La ecuación 15.1 se considerará siempre definida en un cierto dominio , si n es el número de variables independientes. Estaremos entonces interesados en encontrar funciones u(x, y,…..) que verifiquen (15.1) idénticamente en D, funciones que, si existen, llamaremos soluciones de la correspondiente ecuación diferencial en derivadas parciales.

Regularmente se utiliza esta notación de subíndices para representar las derivadas parciales:

Ejemplo:

Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Orden de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación:

Es de segundo orden, mientras que:

Es una ecuación diferencial en derivadas parciales de tercer orden. En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como:

Linealidad de las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Un ecuación diferencial en derivadas parciales (15.1) se dice lineal si la función f es lineal en la variable dependiente u y en todas sus derivadas parciales.

Así mismo se entiende que una ecuación diferencial lineal tiene dos propiedades que la definen como tal, esto es:

1. Sus coeficientes dependen sólo de la o las variables independientes

2. Tanto la variable dependiente como sus derivadas son de primer orden.

Recordemos que una ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma:

Donde es una función de x no igual a cero.

6.2 Forma General de una Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden con coeficientes constantes, grupo al que pertenecen las denominadas ecuaciones de la Física Matemática. Si es dos el número de variables independientes y las denotamos por x e y, la expresión más general de este tipo de ecuaciones es:

(15.2)

en donde A, B, C,….G son funciones de x y y. Cuando =0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.

A la hora de obtener las soluciones de Linealidad, se presentan varias diferencias importantes con respecto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, entre las que destacaremos las dos siguientes:

La primera está relacionada con el concepto de solución general para una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n N, es un conjunto de funciones dependientes de n constantes arbitrarias. En lo que a las ecuaciones diferenciales parciales se refiere, en lugar de constantes, la solución general depende de constantes arbitrarias. Para ilustrar esto considere la ecuación:

(15.3)

Manteniendo x fija e integrando con respecto a y, se obtiene:

Una segunda integración con respecto a x, mientras ahora consideramos a y fija, da

(15.4)

Que es la solución general de (15.3), siendo g y h funciones arbitrarias. Para obtener de (15.4) una solución particular, será necesario añadir ciertas condiciones adicionales que permitan determinar las funciones g y h explícitamente, lo que puede resultar incluso más difícil que la obtención de la propia solución general. Esta dificultad no aparece en el caso ordinario, en el que la obtención de soluciones particulares requiere solamente la determinación de constantes arbitrarias. Por este motivo, en lugar de obtener soluciones generales y a partir de ellas las correspondientes particulares que verifiquen ciertas condiciones prescritas, consideraremos solamente procedimientos que permitan obtener directamente estas soluciones particulares.

La segunda diferencia se refiere al conjunto de soluciones de la ecuación homogénea. Para las ecuaciones ordinarias lineales de orden , constituye un espacio vectorial de dimensión n, igual al orden de la ecuación. Esto viene a significar que toda solución se puede expresar como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes. Desafortunadamente esto no es cierto, en general, para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales homogéneas, debido a que, aunque el conjunto formado por sus soluciones tiene también estructuras de espacio vectorial (puesto que la ecuación el lineal), sin embargo, su dimensión es infinita. Este hecho se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:

efectuando el cambio de variables:

r = x + y ; s = x – y

en la ecuación diferencial en derivadas parciales:

obtenemos la ecuación

de la que deducimos como solución general

y, deshaciendo el cambio anterior:

donde es una función arbitraria con la sola restricción de ser diferenciable. De aquí se sigue que cada una de las funciones:

Es una solución de la ecuación de partida, y es evidente que todas ellas son linealmente independientes. Debido a este hecho, en principio se puede considerar la posibilidad de construir soluciones en forma de sumas infinitas de soluciones linealmente independientes. Sin embargo como existen problemas de convergencia, no es inmediato el que una suma infinita de soluciones sea una solución. Nótese que debido al carácter lineal de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que estamos considerando, la suma infinita de soluciones siempre es solución; es decir, al igual que en el caso ordinario, para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales también se verifica el Principio de Superposición. Sin embargo, como se acaba de comentar, este principio presenta problemas en el caso de superposiciones infinitas. Este tipo de cuestiones relacionadas con la convergencia.

6.3 Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden

La clasificación de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surge por su analogía con la ecuación de las canónicas en el plano:

Así, dependiendo de que la cantidad sea positiva, negativa o nula, hablaremos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperbólicas, elípticas o parabólicas; es decir:

La utilidad de esta clasificación se basa, esencialmente, en la posibilidad de reducir (en cada uno de los tres casos anteriores) a una forma canónica, mediante un adecuado cambio de variables independientes.

Para determinar estas formas canónicas, empezamos por considerar un cambio de variables independientes genérico:

Donde supondremos que r y s son funciones de x e y dos veces derivables, de manera que el jacobiano de la transformación

Es distinto de cero en la región en que estamos interesados. Entonces, suponiendo que x e y son, a su vez, funciones de r y s dos veces derivables, podemos introducir el cambio en una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden (15.2) sin más que tener en cuenta que:

(15.5)

Sustituyendo estos valores en (15.2) se obtiene:

(15.6)

(15.7)

Observación. La ecuación resultante (15.6) va a tener coeficientes variables. Sin embargo, posee la misma estructura que la original (15.2) y , además, su naturaleza permanece invariante ante la transformación efectuada puesto que, como puede comprobarse fácilmente:

Y, por tanto, si inicialmente la ecuación era parabólica, hiperbólica o elíptica, después del cambio continúa perteneciendo a la misma clase, sin más que exigir que el Jacobiano sea distinto de cero.

Supongamos entonces que , en (15.2). En estas condiciones para obtener las formas canónicas buscadas, tratamos de determinar r y s como funciones de x e y de forma que en la ecuación transformada, y sean idénticamente cero.

Esta condición proporciona las ecuaciones:

Puesto que estas dos ecuaciones tienen la misma estructura, podemos estudiarlas como si de una sola se tratase. Representándola por:

(15.8)

Si dividimos por obtenemos

(15.9)

Ahora bien, sobre las cuevas , se tiene , es decir:

Con lo que en este caso, (15.9) puede escribirse como:

Cuyas raíces son:

(15.10)

Definición. Las dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden anteriores se denominan ecuaciones características de la ecuación diferencial en derivadas parciales y sus soluciones, que obtenemos por integración directa

Reciben el nombre de curvas características.

Puesto que las dos curvas características dependen de una constante arbitraria, basta elegir r como

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