Pryecto Ecuaciones Diferenciales

Resolviendo la siguiente ecuación diferencial

dv/dy=-1/(v〖(1+y)〗^2 )

vdv=-dy/〖(1+y)〗^2

Por cambio de variable

w=1+y

dw=dy

v^2/2+C_1=-∫▒dw/w^2

v^2/2+C_1=-w^(-1)/(-1)+C_2

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Agregando condiciones iníciales.

y=0

v=0 y=0

v=2 Y=0

V=√2

0^2/2-1/(1+0)+C=0 2^2/2-1/(1+0)+C=0 (√2)^2/2-1/(1+0)+C=0

C=1 C=-1 C=0

v^2/2-1/(1+y)+1=0 v^2/2-1/(1+y)-1=0 v^2/2-1/(1+y)=0

v^2/2-1/(1+y)-1=0

Figura 1:

v^2/2-1/(1+y)=0

Figura 2:

De la ecuación diferencial

(d^2 y)/(ds^2 )=-1/〖(1+y)〗^2

Se define:

Z_1=y D_s/(----------→) (dZ_1)/ds=Z_(2 )

Z_2=dy/ds D_s/(----------→) (d^2 Z_1)/(ds^2 )=-1/〖(1+Z_1)〗^2

Con lo cual obtenemos

(dZ_1)/ds=Z_2--------→〖 y〗^'=v

(dZ_2)/ds-1/〖(1+y)〗^2 -------→ v^'=-1/〖(1+y)〗^2

Usando la aplicación PPLane obtenemos las siguientes graficas:

Figura 3: En la grafica se aprecia que solo para los puntos (0,1.5) y (0,2) cuando y→ ∞ entonces v tiende a un valor finito.

Para el punto (0,1.5) v→ .5 y para (0,2) v→ 1

La Velocidad de escape esta cercana al punto (0,10)

Figura 4: En el grafico se observa que ese punto es generado por una condición inicial v_0→1.35

Resolviendo analíticamente la ecuación

dv/dy=-1/(v〖(1+y)〗^2 )

Se obtuvo al inicio del reporte la siguiente solución general

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Para 〖V=V〗_0=1 la altura y como la altura inicialmente es 0. Obtenemos C

1/2-1/(1+0)+C=0

C=1-1/2=1/2

La ecuación quedaría de la siguiente forma

v^2/2-1/(1+y)+1/2=0

Derivando respecto a v

v-(1/〖1+y〗^2 ) dy/dv=0

Para encontrar la altura máxima igualamos dy/dv=0

∴v=0

0^2/2-1/(1+y)+1/2=0

-1/(1+y)=-1/2

y=2-1=1

Sustituyendo con condiciones iníciales (v_0,0) en la ecuación diferencial

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Se obtiene

〖v_0〗^2/2-1/(1+0)+C=0

C=1-〖v_0〗^2/2

Por tanto

v^2/2-1/(1+y)+1-〖v_0〗^2/2=0

Y sabiendo por la grafica que el máximo se encuentra cuando v=0

1- 〖v_0〗^2/2=1/(1+y)

y=1/(1-〖v_0〗^2/2)-1

Si 1- 〖v_0〗^2/2<0

“y” adquiere un valor negativo

Por tanto v_0>√2

Si 〖V=V〗_0=√2 y con una altura inicial de 0

〖(√2)〗^2/2-1/(1+0)+C=0

2/2-1/1+C=0

C=0

La ecuación quedaría de la siguiente forma

v^2/2-1/(1+y)=0

Entonces si v→1

1/2-1/(1+y)=0

1/2=1/(1+y)

1+y=2

y=1

Se aprecia en la

Figura 5: En la grafica se observa que con condiciones iníciales (0, √2) la grafica pasa por el punto (1,1)

Grafica que “v” tiende a un valor f

infinito v^2/2-(1/y)/(1/y+y/y)=0

Cuando y→∞ v^2/2-0/(0+1)=0 ∴v→0

Ahora al asignar valores iníciales con y=0 y tomando como referencia √2 que ya se aproximaba a la velocidad de escape, se empezó a reducir en .01 el valor de V_0={1.39,1.40,1.41,1.42,√2} obteniendo la siguiente grafica, viendo que la velocidad de escape esta en ese rango

Figura 6: Grafico que muestra la velocidad de escape de acuerdo al siguiente rango V_0={1.39,1.40,1.41,1.42,√2}

Si tomamos la consideración de la fricción del aire se obtiene la siguiente ecuación diferencial

(d^2 y)/(ds^2 )=-1/〖(1+y)〗^2 -0.01v/〖(1+y)〗^2

Se define:

Z_1=y D_s/(----------→) (dZ_1)/ds=Z_(2 )

Z_2=dy/ds D_s/(----------→)

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