Arboles

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Ya vimos al final del capítulo anterior que el comportamiento de los ABB no es siempre tan bueno como nos gustaría. Pues bien, para minimizar el problema de los ABB desequilibrados, sea cual sea el grado de desequilibrio que tengan, se puede recurrir a algoritmos de equilibrado de árboles globales. En cuanto a estos algoritmos, existen varios, por ejemplo, crear una lista mediante la lectura en inorden del árbol, y volver a reconstruirlo equilibrado. Conociendo el número de elementos no es demasiado complicado.

El problema de estos algoritmos es que requieren explorar y reconstruir todo el árbol cada vez que se inserta o se elimina un elemento, de modo que lo que ganamos al acortar las búsquedas, teniendo que hacer menos comparaciones, lo perdemos equilibrando el árbol.

Para resolver este inconveniente podemos recurrir a los árboles AVL.

8.2 Definición

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Un árbol AVL (llamado así por las iniciales de sus inventores: Adelson-Velskii y Landis) es un árbol binario de búsqueda en el que para cada nodo, las alturas de sus subárboles izquierdo y derecho no difieren en más de 1.

No se trata de árboles perfectamente equilibrados, pero sí son lo suficientemente equilibrados como para que su comportamiento sea lo bastante bueno como para usarlos donde los ABB no garantizan tiempos de búsqueda óptimos.

El algoritmo para mantener un árbol AVL equilibrado se basa en reequilibrados locales, de modo que no es necesario explorar todo el árbol después de cada inserción o borrado.

8.3 Operaciones en AVL

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Los AVL son también ABB, de modo que mantienen todas las operaciones que poseen éstos. Las nuevas operaciones son las de equilibrar el árbol, pero eso se hace como parte de las operaciones de insertado y borrado.

8.4 Factor de equilibrio

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Cada nodo, además de la información que se pretende almacenar, debe tener los dos punteros a los árboles derecho e izquierdo, igual que los ABB, y además un miembro nuevo: el factor de equilibrio.

El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo:

FE = altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo;

Por definición, para un árbol AVL, este valor debe ser -1, 0 ó 1.

8.5 Rotaciones simples de nodos

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Los reequilibrados se realizan mediante rotaciones, en el siguiente punto veremos cada caso, ahora vamos a ver las cuatro posibles rotaciones que podemos aplicar.

Rotación simple a la derecha (SD)

Esta rotación se usará cuando el subárbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades más alto que el derecho, es decir, cuando su FE sea de -2. Y además, la raíz del subárbol izquierdo tenga una FE de -1 ó 0, es decir, que esté cargado a la izquierda o equilibrado.

Árbol desequilibrado a la izquierda

Árbol desequilibrado a la izquierda

Procederemos del siguiente modo:

Llamaremos P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene una FE de -2. Y llamaremos Q al nodo raíz del subárbol izquierdo de P. Además, llamaremos A al subárbol izquierdo de Q, B al subárbol derecho de Q y C al subárbol derecho de P.

En el gráfico que puede observar que tanto B como C tienen la misma altura (n), y A es una unidad mayor (n+1). Esto hace que el FE de Q sea -1, la altura del subárbol que tiene Q como raíz es (n+2) y por lo tanto el FE de P es -2.

Pasamos el subárbol derecho del nodo Q como subárbol izquierdo de P. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la derecha de Q siguen estando a la izquierda de P.

El árbol P pasa a ser el subárbol derecho del nodo Q.

Ahora, el nodo Q pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, hacemos que la entrada al árbol sea el nodo Q, en lugar del nodo P. Previamente, P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.

RSD paso 1 RSD paso 2 RSD paso 3

Rotación simple a la derecha

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura. En el caso de P porque sus dos subárboles tienen la misma altura (n), en el caso de Q, porque su subárbol izquierdo A tiene una altura (n+1) y su subárbol derecho también, ya que a P se añade la altura de cualquiera de sus subárboles.

Árbol equilibrado

Árbol resultante equilibrado

En el caso de que el subárbol izquierdo esté equilibrado, el procedimiento es similar, pero los FE de los nodos P y Q en el árbol resultante son diferentes.

En principio, parece poco probable que nos encontremos un árbol con esta estructura, pero es posible encontrarlos cuando se borran nodos.

Árbol desequilibrado a la izquierda (b)

Árbol desequilibrado a la izquierda (caso b)

Aplicamos el mismo algoritmo para la rotación:

RSD paso 1 RSD paso 2 RSD paso 3

Rotación simple a la derecha

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura. En el caso de P porque su subárbol izquierdo es una unidad más alto que el derecho, quedando su FE en -1. En el caso de Q, porque su subárbol derecho una altura (n+1) y su subárbol izquierdo, una altura de n.

Árbol equilibrado

Árbol resultante equilibrado

De modo que, aunque aplicamos el mismo algoritmo, ya que en ambos casos se trata de una rotación simple, deberemos tener en cuenta estos detalles a la hora de ajustar los nuevos valores de FE en nuestro programa.

Rotación simple a la izquierda (SI)

Se trata del caso simétrico del anterior. Esta rotación se usará cuando el subárbol derecho de un nodo sea 2 unidades más alto que el izquierdo, es decir, cuando su FE sea de 2. Y además, la raíz del subárbol derecho tenga una FE de 1 ó 0, es decir, que esté cargado a la derecha o esté equilibrado.

Árbol desequilibrado a la derecha

Árbol

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