Coordenadas Polares

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LIBRES.

Calculo Vectorial

Lic. Edgar Suarez Artero

Coordenadas Polares y Graficas Polares

Ricardo Hernández Méndez

Ing. Industrial.

No. De Control. 11940125

26 de Octubre 2012.

Introducción.

Este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de las coordenadas y a partir de él se señala un segmento de recta horizontal denominado línea inicial o eje polar, en el cual se marca la escala que se desee, para medir distancias. Una vez hecho esto, para indicar la posición de un punto cualquiera del plano, trazamos la recta desde el punto en cuestión hasta el origen del sistema y se mide el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al origen son las coordenadas polares del punto.

Desarrollo

Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

Para la solución de ciertos problemas es necesario saber como pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por ello deduciremos las relaciones necesarias, de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas, obtenemos:

sen φ = y/r ∴ y= r sen φ ......................................................................................................................(1)

cos φ = x/r ∴ x = r cos φ ....................................................................................................................(2)

Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de una ecuación cartesiana en polar y viceversa. Ahora, de acuerdo al teorema de Pitágoras según la figura nos queda:

r^2 = x^2+y^2 ∴r=√(x^2+y^2 ) ........................................................................................ (3)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.

Trazado de una curva dada su ecuación polar.

Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado polar, que se construye de la siguiente forma: A partir de un punto que es el polo, se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del ángulo serán para los valores negativos de las distancias, como se muestra en la figura anterior. Para graficar una ecuación polar, procedemos igualmente que con las ecuaciones cartesianas, dando valores al ángulo θ entre 0° y 360°, haciendo uso de preferencia del papel coordenado polar.

Ejemplo: Trazar la curva cuya ecuación polar es: r = 8 cos θ .

SOLUCIÓN

Se hacen las operaciones para cada valor de θ según la ecuación. Para obtener las correspondientes a r, obteniéndose la siguiente tabla de tabulación.

Conclusión

De lo anterior se puede concluir lo siguiente:

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r, que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ se tendría otra forma de definir un punto.

De la grafica obtenemos rosas de 4 6,8, etc. pétalos. Depende a la función otorgada. Para seno o coseno.

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