Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES

INTRODUCCIÓN

E

n el desarrollo de nuestro curso se ha tratado diferentes problemas únicamente mediante el uso de coordenadas cartesianas. Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas,

Coordenadas Polares.

Se determinara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, teoremas, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.

OBJETIVOS

 Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficación de funciones, trabajando con coordenadas polares.

 Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.

I. MARCO TEORICO

Es un sistema en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Para formar sistema de coordenadas polares en el plano, se dija un punto 0, llamado polo (u origen) y a partir de 0, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue:

A continuación se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en el sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.

II. CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES O VICEVERSA.

II.I. Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas

Cuando utilizamos tanto el sistema de coordenadas polares como el cartesiano en un plano, colocamos los dos orígenes juntos y tomamos el rayo polar inicial como el eje x positivo. El rayo θ= π/2, r>0, entonces el eje y positivo. Entonces los dos sistemas de coordenadas están relacionados por las ecuaciones siguientes.

Dadas las coordenadas polares r y , las primeras dos de estas ecuaciones determinan de manera única las coordenadas cartesianas x y y. Por otra parte, si se dan x y y, la tercera ecuación proporciona dos alternativas para r (una positiva y una negativa). Para cada alternativa existe un único θ=[0,2π[ que satisface las dos primeras ecuaciones, cada una de las cuales de una representación en coordenadas polares del punto cartesiano (x,y). Las otras representaciones en coordenadas polares para el punto pueden determinarse a partir de estas dos.

Ejemplos ecuaciones equivalentes

II.II. Transformación de coordenadas polares a rectangulares.

II.III. Transformación de coordenadas rectangulares a polares.

III. GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°)

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