Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

La posición de un punto P en un plano se puede indicar usando las coordenadas polares. Para ello, se considera una semirrecta orientada O A llamada eje polar, que usualmente se considera en forma horizontal y que se extiende hacia la derecha; al origen O del eje polar se denomina origen o polo.

A cada punto P de! plano se le asigna un par (r; 9) donde r es la longitud del segmento OP y 9 es la medida en radianes del ángulo cuyo lado inicial es el eje polar y el lado terminales el segmento OP.

Al par (r; 9) se denomina coordenadas polares de P y se denota P (r; 9), r es llamado radio vector y 9 es el ángulo polar. De la podría deducirse que r > 0 y O < 0 < 2 7 r, pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar las coordenadas polares a un punto y formar el sistema de coordenadas polares en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido anti horario, 9 es positivo y negativo en caso contrario.

2. A la semirrecta OA' que forma con el eje polar un ángulo de medida 9 se denomina eje 0. El radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9, y es negativo si P está en la prolongación del eje 9.

3. El polo O está unívocamente determinado por r = 0, es decir, al polo se le puede asignar el par (0; 9), donde d es cualquier número real.

Representación de puntos con coordenadas polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (, θ) se puede representar como (, θ ± ×360°) o (−, θ ± (2 + 1)180°), donde es un número entero cualquiera.

El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

EL SISTEMA POLAR

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r, θ) , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.

Se deducen las siguientes transformaciones:

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje π/2”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

Conversión de Coordenadas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(Aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.

Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente).

Para obtener θ en el intervalo

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