Coordenadas Polares

Coordenadas polares

Definición.-

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud “r” que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro , tendríamos otra forma de definir un punto.

Esta forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares. Para medir , en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Entonces las coordenadas polares de un punto P del plano están representadas por (r,), donde r es el radio vector que representa la distancia dirigida de O a P, y  es el ángulo polar o amplitud, formado por eje polar con OP.

La coordenada  es positiva cuando se considera contrario al que giran las manecillas del reloj, y la coordenada r es positiva cuando se considera sobre el lado terminal de  y la negativa cuando se considera sobre su prolongación

Convendremos, a menos que se especifique lo contrario, en tomar el radio vector r de un punto particular como positivo y su ángulo polar  comprendido entre cero y el ángulo positivo más pequeño menor que 360°. A tal par lo llamaremos par principal de coordenadas polares del punto.

El eje perpendicular al eje polar en el origen se denomina eje normal o eje a 90°.

Relación entre coordenadas polares y rectangulares.-

Si el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular, y trazamos desde P una perpendicular al eje X, como se muestra en la figura. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r,) Entonces, se deducen inmediatamente las relaciones:

Rectangulares en función de las polares

Polares en función de las rectangulares

Graficas de ecuaciones polares.-

Consideremos ahora el trazado y construcción de una imagen geométrica de una ecuación polar dada, mediante su discusión. El tratamiento es similar al de coordenadas rectangulares, por lo que los pasaos a seguir son los siguientes:

1. Intersecciones.

a) Con el eje polar.- Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuaci6n polar dada para r , cuando a  se le asignan sucesivamente los valores 0,, 2 y , en general, el valor n , en donde n es un entero cualquiera.

b) Con el eje normal.- si existen algunas intersecciones con el eje a 90°, pueden obtenerse asignando a  los valores n/2, en donde n es un número impar cualquiera. Si existe un valor de  para el cual sea r = 0, la gráfica pasa por el polo.

2. Simetría.

a) Respecto al eje polar.- entonces para cada punto P existe un punto P’ también de la curva, tal que el segmento PP’ es bisecado perpendicularmente por el eje polar, de esto se deduce que las coordenadas de P' son (r, - ) y (r,  - ). Luego, si una curva es simétrica en relación con el eje polar, su ecuación se debe verificar al sustituir:

-  por -  ,

-  por  -  y r por - r. simultáneamente

b) Respecto al eje normal.- sea el punto P’ simétrico al punto P con relación al eje normal, tiene por coordenadas: (r,  - ) y (-r, - ). Luego, si los puntos P y P’ pertenecen a una curva simétrica en relación con el eje normal, su ecuación debe verificar al sustituir:

-  por ( - )

-  por -  y r por – r, simultáneamente

c) Respecto al polo.- considérese el punto Q simétrico de P en relación con el polo. Las coordenadas de Q que tienen los valores (r,  + ) y (- r, ). Luego, si los puntos P y Q pertenecen a una curva simétrica en relación con el polo, su ecuación se debe verificar al sustituir:

-  por ( + )

- r por – r

3. Extensión.

Para determinar la extensión de la grafica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja r en función de  , de modo que tenemos:

r = f ( )

- Si r es finito para todos los valores de  , se trata de una curva cerrada.

- Si, en cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de  la grafica no puede ser una curva cerrada.

- Para valores de  que hacen a r compleja no hay curva; tales valores de  constituyen intervalos excluido del lugar geométrico.

...