Ejemplos de estabilidad de sistemas de fase mínima en el diagrama de Bode

EJEMPLOS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE FASE MÍNIMA EN EL DIAGRAMA DE BODE

1. Considere un sistema de control realimentado.[pic 1]

[pic 2]

1. Mediante los Diagramas de Bode, mida el MG y MF con K = 1. ¿Es estable en lazo cerrado?
2. Encuentre el rango de estabilidad.

Para cada uno de los siguientes casos:

1. [pic 3]

1. [pic 4]

Solución:

1. a) Los márgenes de estabilidad se miden en los gráficos de Bode de la Función de Transferencia de Lazo Abierto FTLA: G(s)H(s).

>> s=tf('s');

>> G=1/s/(0.2*s+1)/(s+1); % Con K=1;

>> H=1;

>> GH=G*H;

>> margin(GH)

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8][pic 9]

[pic 10]

El margen de ganancia MG = 15.6 dB en wɸ = 2.24 rad/s

El margen de fase MF = 43.2° en wC = 0.779 rad/s

Al ser positivos, el sistema en lazo cerrado es estable con K = 1.

b)

 Recuerde que el MG es el valor por el que habría que multiplicar (o los dB que habría que sumar a) a la ganancia de G(s).H(s), para que la FTLC se vuelva críticamente estable. Es decir, para que cuando la fase sea -180° la ganancia fuese 0 dB. Si la fase no corta a -180° el MG será infinito, siendo estable para todo K > 0.

En este caso: 20*log10K = MG = 15.6 dB

                                       K = 1015.6/20 = 6

El sistema en lazo cerrado es estable si  K < 6.

II.     a)    

                 >> G=1/s/(5*s+1); % Con K=1;

>> H=1;

>> GH=G*H;

>> margin(GH)  

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13][pic 14]

[pic 15]

[pic 16][pic 17]

[pic 18]

El margen de ganancia MG = Inf dB en wɸ = Inf rad/s

El margen de fase MF = 25.2° en wC = 0.425 rad/s

Al ser positivos, el sistema en lazo cerrado es estable con K = 1.

                       b)

El sistema en lazo cerrado es estable si  K > 0.

Preguntas adicionales para ambos casos.

1. ¿Cuál es el valor de K para que el MG sea 20 dB?
2. ¿Cuál es el valor de K para que el MF sea 45°?

Solución Caso I:

1. Se observa que con K=1 el MG es 15.6 dB. Para que sea igual a +20dB. La curva de magnitud debe “bajar” 4.4 dB. Luego:

20*log10K = -4.4, entonces K = 10-4.4/20 = 0.6        

1. Con K=1, en el diagrama de fase se busca la frecuencia donde la fase sea -135° (MF = 45°). Esto ocurre aproximadamente en w = 0.74 rad/s.

En esta frecuencia la magnitud es aproximadamente +0.632 dB. Entonces para que esta frecuencia corresponda al MF = 45°, la gráfica de magnitud debe ser 0 dB en esta frecuencia, es decir debe “bajar” 0.632 dB:

20*log10K = -0.632, entonces K = 10-0.632/20 = 0.929

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