Linealizacion de todos los modelos matemáticos no lineales

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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

NOMBRE:

LIA FERNANDA VÉLEZ COELLO

CURSO:

IQI-S-CO-2-2

MATERIA:

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

DOCENTE:

ING. ANA SANTAMARIA ROBLES

AÑO LECTIVO

2018-2019 CII

• Sistema lineal vs Sistema no lineal

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones que expresan una cierta situación física sin involucrar términos que incluyen una variable dependiente o las derivadas de esa variable a una potencia mayor que uno. Un sistema no lineal es como uno lineal, excepto que uno o más términos no son lineales.

La distinción entre sistemas lineales y no lineales en matemáticas define el límite entre lo relativamente conocido y lo desconocido. Ambos tipos de sistemas pueden describir la dinámica de muchos procesos diferentes, como los planetas que orbitan entre sí, las fluctuaciones en las poblaciones de animales, el comportamiento de los circuitos eléctricos, etc.

La diferencia entre lineal y no lineal radica en los detalles de las ecuaciones que rigen la interacción de estos sistemas. Para los sistemas que se comportan linealmente, es relativamente fácil encontrar soluciones exactas que podamos usar para predecir el comportamiento futuro dentro del sistema. Para sistemas no lineales, tenemos la suerte de encontrar cualquier solución. De hecho, en la dinámica no lineal, a menudo tenemos que redefinir lo que consideramos como una solución.

Hay muchos tipos de funciones no lineales: 

Función de Variación Inversa:

Un tipo de función no lineal se llama variación inversa. En estas funciones, la variable dependiente es igual a una constante multiplicada por la inversa de la variable independiente. En forma simbólica, ésta es la ecuación , donde y es la variable dependiente, k es la constante, y x es la variable independiente.  [pic 3]

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Función Cuadrática

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola, un tipo de curva de 2 dimensiones.

[pic 5] (Copyright ©MATHISFUN, 2018)

Función Exponencial

En estas funciones, la variable independiente es un exponente en la ecuación. La fórmula de la función exponencial tiene la forma y = abx. Como x es el exponente, si b es mayor que 1, la salida crecerá muy rápido por cada pequeño incremento del valor de entrada. 

Los modelos hasta ahora se desarrollan a partir de sistemas que se pueden describir aproximadamente mediante ecuaciones diferenciales lineales. Vamos a definir formalmente los términos lineales y no lineales y mostrar cómo distinguir entre los dos. Luego, aprenderemos a aproximar un sistema no lineal a un sistema lineal. 

[pic 6] (Paúl, 2003)

• Propiedades de un Sistema Lineal

• La propiedad de superposición significa que la respuesta de salida de un sistema a la suma de entradas es la suma de las respuestas a las entradas individuales. Por lo tanto, si una entrada r(t) produce una salida c, (t) y una entrada r2(t) produce una salida c (t), entonces una entrada r (t) + 2 (t) produce una salida c, ( t) + c (t).
• La propiedad de homogeneidad describe la respuesta del sistema a una multiplicación de la entrada por un escalar. Específicamente, en un sistema lineal, la propiedad de homogeneidad se demuestra si para una entrada de r (t) que produce una salida de c, (t), la entrada de Ar, (t) produce una salida de Ac, (O; es decir, la multiplicación de una entrada por un escalar produce una respuesta que se multiplica por el mismo escalar.

Podemos visualizar la linealidad como se muestra en la Figura

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La Figura (a) es un sistema lineal donde la salida siempre es 1/2 la entrada, o f(x)= 0.5x, independientemente del valor de x. De esta manera se aplican las dos propiedades de los sistemas lineales. Figura (b) donde es un sistema no lineal. (Cho, 2013)[pic 9]

Las aproximaciones lineales simplifican el análisis y el diseño de un sistema y se utilizan siempre que los resultados den una buena aproximación a la realidad. Por ejemplo, se puede establecer una relación lineal en un punto de la curva no lineal si el rango de valores de entrada alrededor de ese punto es pequeño y el origen se traslada a ese punto.

El proceso de linealización de sistemas no lineales es importante, porque al linealizar ecuaciones no lineales, es posible aplicar numerosos métodos de análisis lineal que producirán información sobre el comportamiento de esos sistemas. El procedimiento de linealización presentado aquí se basa en la expansión de la función no lineal en una serie de Taylor sobre el punto de operación y la retención de solo los términos lineales. Debido a que descuidamos los términos de orden superior en la expansión de la serie Taylor, estos términos descuidados deben ser lo suficientemente pequeños; es decir, las variables deben desviarse solo ligeramente de las condiciones de funcionamiento. (Cho, 2013)

• Serie de Taylor

 La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie elegir el número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. (Weisstein, 2018)

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