Magnetismo

Contenido Curricular

Unidad didáctica:

Matemática.

Aprendizaje:

Integración.

Tema:

- Primitiva.

- Integrales definidas.

- Aplicaciones

Objetivo Principal.

Conocer e interpretar el concepto de integración.

Objetivos Secundarios:

- Calcular integrales indefinidas y definidas.

B. Balotario

1. ¿Qué es una antiderivada o primitiva?

Decimos que g(x) es la primitiva o antiderivada de una función f(x) si:

g(x)= f(x)

Por ejemplo, g(x) = x3 es una primitiva de f(x) = 3x2 pues g(x)= 3x2.

Decimos que g(x) = x3 es una primitiva porque la primitiva no es única, por ejemplo g(x) = x3 + 2 y h(x) = x3 – 4 son primitivas de f(x) = 3x2. En general g(x) = x3 + c (c=constante) es la antiderivada general de f(x) = 3x2.

2. ¿Cómo se relacionan la derivada y la antiderivada?

La antiderivada, llamada, también, integral indefinida es la operación inversa de la derivada. Así, por ejemplo, la derivada de senx es cosx, luego la integral de cosx es senx.

3. ¿Cuál es el símbolo de la integral indefinida?

La integral indefinida se simboliza por: f(x)dx

Por ejemplo:

1.  3x2dx = x3 + c. 2.  sec2xdx = tanx + c

3.  cosxdx = senx + c 4.  5dx = 5x + c.

4. ¿Qué propiedades tiene la integral indefinida?

Básicamente tiene dos propiedades:

i) [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx

ii) Si c es constante: cf(x)dx = cf(x)dx

Estas dos propiedades se pueden resumir en una sola.

Si c1 y c2 son constantes:

[c1f(x) + c2g(x)]dx = c1f(x)dx + c2g(x)dx

Debido a estas propiedades se dice que la integral es lineal.

Ej. [5cosx + 3sec2x]dx = 5cosxdx + 3sec2xdx

= 5cosxdx + 3sec2xdx

= 5senx + c1 + 3tanx + c2

= 5senx + 3tanx + c1 +c2

= 5senx + 3tanx + c

Todos estos pasos se pueden abreviar si integramos cada término por separado y luego, al final, agregamos una sola constante.

5. ¿Existe alguna tabla básica de integrales?

Sí, esta es:

En la tabla anterior u es la variable de integración, mientras que a y c son constantes. La variable se distingue porque es la que acompaña al diferencial (du) al final de la integral. Generalmente u denota a una función que está compuesta con otra: f(g(x)) = f(u), donde u= g(x).

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ¿Cómo se puede integrar una función compuesta?

Con un teorema que se conoce como la regla de la cadena para integrales:

...