Matematica

1. Resuelva el problema de valor inicial

2x^2y’’ + 3xy’ – y = 0; si y(1) = 2 y’(1) = 1

Aplicando la situación x= t; considerando que x > 0

T=Ln x

( dt)/dx=1/x

Ahora podríamos decir que:

dy/dx=dy/dt.dt/dx

Teniendo en cuenta que dt/dx=1/x; reemplazando tenemos

dy/dx=dy/dt.1/x

Despejando obtenemos

x dy/dx=dy/dt

Vuelvo a derivar para poder reemplazar en la ecuación

(d^2 y)/(dx^2 )=(1d^2 y)/(xdt^2 ).dt/dx-1/x^2 dy/dt=(1d^2 y)/(adt^2 ).1/x-1/x^2 dy/dt=(1d^2 y)/(x^2 dt^2 )-(1 dy)/(x^2 dt)

Factorizamos y despejamos

x^2 (d^2 y)/(dx^2 )=((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt)

Ahora reemplazamos en la ecuación se tiene:

2x^2y´´+ 3xy´-y=0;

2((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt)+3 dy/dt-y=0

2(d^2 y)/(dt^2 )-2 dy/dt+3 dy/dt-y=0

2 (d^2 y)/(dt^2 )+dy/dt-y=0

La ecuación característica es:

2m^2+m++1=0

Factorizando esta ecuación tenemos

2m^2+m+1=(m+1)(2m-1)

De donde m = -1; m= 1/2

Considerando la anterior expresión tenemos que la solución general está dada por :

Y=c1e^(-t)+c2e^(1t/2)

Reemplazando por los valores iniciales t = lnx, se tiene

Y=c1e^(-lnx)+c2e^(1/3 lnx)

Por propiedades de logaritmos tengo

Y=c11/x+〖c2x〗^(1/2)

Remplazando la primera condición c(1) =2; tenemos .

2=1/1 c1+〖(1)〗^(1/2) c2

2= c1+c2

Derivo la solución general para reemplazarla la segunda condición inicial dada

Y=c11/x+c2x^(1/2)

y´=-1/x^2 c1+1/(2x^(1/2) ) c2

Reemplazo la primer condición inicial c(1)=1; tenemos .

1=1/1^2 c1+1/(2.〖(1)〗^(1/2) ) c2

1=-c1+1/2 c2

Considerando

2=c1+c2

1=-c1+1/2 c2

Sumando las anteriores ecuaciones obtengo

3=3/2 c2

c2=2

Reemplazando la primera ecuación tenemos

2=c1+2

c1=0

Finalmente reemplazando los valores de las constantes tenemos la siguiente solución

Y=c11/x+c2x^(1/2)

y=2x^(1/2)

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. y_1=1 e y_2=log⁡x

W[1;log⁡x ]=(■(1&log⁡x@0&1/x))=1/x-0=1/x

Por lo tanto W[1;log⁡x ]= 1/x

B. y_1=e^(ax ) e y_2=x〖 e〗^ax

C. y_1=e^(-x) e y_(2 )= e^2x

W [e^(-x);e^2x ]=(■(e^(-x)&e^2x@〖-e〗^(-x)&2e^2x ))

=e^(-x) (2e^2x )-(-e^(-x))e^2x

=2e^x+e^x=3e^x

...