Matematicas Logicas

Historia

Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.

Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.

Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).

[editar]Concepto de lógica matemática

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia la forma del razonamiento. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

[editar]Definición y clases de proposiciones

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.

En general, las proposiciones pueden ser:

Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones compuestas

Cerradas si tienen determinado el sujeto.

Abiertas si no lo tienen determinado.

Afirmativas o negativas según lo afirmen o nieguen.

Verdaderas o falsas según correspondan o no a la realidad.

Para fines didácticos se dividen en:

Lógica proposicional: Consideraremos dos elementos básicos, proposiciones y conectivos. Proposiciones: son “frases” sobre las cuales podemos decidir, unívocamente, sobre la verdad (V) o falsedad (F)

Ejemplo:

x+4=9 y x=5

Lógica funcional: Símbolos que, junto con las proposiciones básicas, nos permiten crear nuevas proposiciones, son:

¬ se lee “no”

∧ se lee “y”

∨ se lee “o”

→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”

↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo sí…"

[editar]Leyes notables en lógica

Las leyes de lógica más notables son las que se en listan a continuación:

Ley de doble negación

Leyes de idempotencia

Leyes asociativas

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