Si suponemos que la solución de la ecuación dada existe y tiene la forma

5. Resolver por series la ecuación diferencial

              [pic 1]

Desarrollo

Si suponemos que la solución de la ecuación dada existe y tiene la forma

[pic 2]

Entonces derivamos para poder hallar :[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Ahora reemplazamos en (1), las series (2) y (3), obteniendo asi:

[pic 6]

[pic 7]

Si escribimos los primeros términos de estas series:

[pic 8]

[pic 9]

Y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x, se obtiene:

[pic 10]

Por lo tanto, para que (5) sea idéntica a 0 es necesario que los coeficientes de las potencias iguales de x sean cero; esto es, que:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Por tanto, la serie de potencias adopta la forma:

[pic 17]

Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (4) y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es:

[pic 18]

Sea  para la primera serie, luego esta queda enterminos de k, asi:[pic 19]

[pic 20]

Sea  para la segunda serie, luego esta queda enterminos de k, asi:[pic 21]

[pic 22]

La ecuacion  (4) en treminos de k, sería:

[pic 23]

Evaluamos el primer termino de (6) en 0 y 1:

[pic 24]

[pic 25]

Reagrupamos las series indicadas ya que inician en k = 2:

[pic 26]

Ahora igualamos a cero cada termino de (7):

[pic 27]

Como :[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Haciendo uso de la ecuacion de recurrencia (8), Calculamos los demas terminos, reemplazando k iniciando en 2:

Para k = 2:

[pic 31]

Para k = 3:

[pic 32]

Para k = 4:

[pic 33]

Para k = 5:

[pic 34]

Para k = 6:

[pic 35]

Para k = 7:

[pic 36]

y así sucesivamente; por lo tanto, a partir de la hipótesis original, ecuación (2), llegamos a:

[pic 37]

Reemplazando los valores hallados para Cn:

[pic 38]

...