SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de la forma ax + by = c

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Si tenemos una ecuación lineal de la forma ax + by = c, donde a, b, c son constantes y a, b distintas de cero. Dos ecuaciones de esta forma constituyen un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. El sistema se llama lineal porque todas sus ecuaciones son de primer grado.

Sistemas lineales.                                                Sistemas no lineales.

5x – y = 9                                                5x – y = 9                                

3x – y = 13                                                                  2x2 + 4y2 = 8        

La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, constituye todo par de valores x e y que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. Las soluciones de un sistema pueden ser:

[pic 1]

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen los métodos analíticos y el método gráfico.

MÉTODOS ANALÍTICO.-

tenemos reducción, sustitución, igualación, determinante.

MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN

Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones dadas por números adecuados de tal manera que una de las incógnitas se anule, se suman las ecuaciones y el sistema se transforma en una ecuación lineal. Ejemplo:

* Resolver el sistema de ecuaciones:

2x – y = 4

X + 2y = -3

Para eliminar x multiplicamos a la segunda ecuación por -2.

 2x  – y  = 4        Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación.

-2x – 4y = 6

      - 5y = 10

[pic 2]        →         y = -2

Para determina el valor de x, reemplazamos el valor de y en una de las ecuaciones originales,

Reemplazamos en la primera ecuación.

2x – (-2) = 4

2x + 2 = 4

[pic 3]

Verificación:

Para comprobar si la solución del sistema de ecuaciones es correcta, reemplazamos los valores de x e y en las ecuaciones originales y se obtiene una igualdad así:

Reemplazando en cada ecuación

2(1) – (-2) = 4                                        (1) + 2(-2) = -3

  2   +    2   = 4                                         1   -   4      = -3

       4        = 4                                             -3         = -3

Ejercicios

a. Resuelve por reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)        [pic 4]                                2)        [pic 5]

3)        [pic 6]                                4)        [pic 7]

5)        [pic 8]                        6)        [pic 9]

7)        [pic 10]                                8)        [pic 11]

9)        [pic 12]                                10)        [pic 13]

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, se igualen estos resultados, transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación lineal.

* Resolver el sistema de ecuaciones

2x – y = 4     (1)

x + 2y = -3   (2)

Despejamos y en las dos ecuaciones

        (1)                                                (2)

-y = 4 – 2x                                        2y = -3 – x

[pic 14]                                   [pic 15]

Igualamos estos resultados y resolvemos

[pic 16]

Reemplazamos este valor en una de las ecuaciones despejadas.

Reemplazando en la primera ecuación.

y = 2(1) – 4

y = 2 – 4

y = -2

Ejercicios Propuestos

a. Resuelve por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)         [pic 17]                        2)         [pic 18]

3)         [pic 19]                                4)         [pic 20]

5)        [pic 21]                        6)        [pic 22]

7)        [pic 23]                        8)        [pic 24]

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. Transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación lineal.

* Resolver el sistema de ecuaciones

2x – y = 4

x + 2y = -3

Despejamos y en la primera ecuación:

...