SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de la forma ax + by = c
maizitaPráctica o problema9 de Diciembre de 2015
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si tenemos una ecuación lineal de la forma ax + by = c, donde a, b, c son constantes y a, b distintas de cero. Dos ecuaciones de esta forma constituyen un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. El sistema se llama lineal porque todas sus ecuaciones son de primer grado.
Sistemas lineales. Sistemas no lineales.
5x – y = 9 5x – y = 9
3x – y = 13 2x2 + 4y2 = 8
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, constituye todo par de valores x e y que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. Las soluciones de un sistema pueden ser:
[pic 1]
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen los métodos analíticos y el método gráfico.
MÉTODOS ANALÍTICO.-
tenemos reducción, sustitución, igualación, determinante.
MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones dadas por números adecuados de tal manera que una de las incógnitas se anule, se suman las ecuaciones y el sistema se transforma en una ecuación lineal. Ejemplo:
* Resolver el sistema de ecuaciones:
2x – y = 4
X + 2y = -3
Para eliminar x multiplicamos a la segunda ecuación por -2.
2x – y = 4 Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación.
-2x – 4y = 6
- 5y = 10
[pic 2] → y = -2
Para determina el valor de x, reemplazamos el valor de y en una de las ecuaciones originales,
Reemplazamos en la primera ecuación.
2x – (-2) = 4
2x + 2 = 4
[pic 3]
Verificación:
Para comprobar si la solución del sistema de ecuaciones es correcta, reemplazamos los valores de x e y en las ecuaciones originales y se obtiene una igualdad así:
Reemplazando en cada ecuación
2(1) – (-2) = 4 (1) + 2(-2) = -3
2 + 2 = 4 1 - 4 = -3
4 = 4 -3 = -3
Ejercicios
a. Resuelve por reducción los siguientes sistemas de ecuaciones:
1) [pic 4] 2) [pic 5]
3) [pic 6] 4) [pic 7]
5) [pic 8] 6) [pic 9]
7) [pic 10] 8) [pic 11]
9) [pic 12] 10) [pic 13]
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, se igualen estos resultados, transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación lineal.
* Resolver el sistema de ecuaciones
2x – y = 4 (1)
x + 2y = -3 (2)
Despejamos y en las dos ecuaciones
(1) (2)
-y = 4 – 2x 2y = -3 – x
[pic 14] [pic 15]
Igualamos estos resultados y resolvemos
[pic 16]
Reemplazamos este valor en una de las ecuaciones despejadas.
Reemplazando en la primera ecuación.
y = 2(1) – 4
y = 2 – 4
y = -2
Ejercicios Propuestos
a. Resuelve por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:
1) [pic 17] 2) [pic 18]
3) [pic 19] 4) [pic 20]
5) [pic 21] 6) [pic 22]
7) [pic 23] 8) [pic 24]
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. Transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación lineal.
* Resolver el sistema de ecuaciones
2x – y = 4
x + 2y = -3
Despejamos y en la primera ecuación:
-y = 4 – 2x
y = 2x – 4
Reemplazamos en la segunda ecuación y resolvemos:
x + 2 (2x – 4) = -3
x + 4x – 8 = -3
5x = -3 + 8
5x = 5
x = 1
Para determinar el valor de y reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones originales.
Reemplazamos en la segunda ecuación:
1 + 2y = -3
2y = -3 – 1
y = -2
Ejercicios Propuestos
a. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
1) [pic 25] 2) [pic 26]
3) [pic 27] 4) [pic 28]
5) [pic 29] 6) [pic 30]
7) [pic 31] 8) [pic 32]
MÉTODO POR DETERMINANTES
Un determinante es una disposición de números en filas y columnas.
Un determinante de segundo orden está formado por dos filas y dos columnas, su valor es igual al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.
En un sistema de ecuaciones, las filas representan cada ecuación y las columnas cada una de las variable x e y. Pero únicamente se toman en cuenta los coeficientes. Sea el sistema de ecuaciones:
...