Algebra lineal- Apuntes
Enviado por laloko • 11 de Marzo de 2016 • Apuntes • 6.026 Palabras (25 Páginas) • 309 Visitas
[pic 1][pic 2]
[pic 3][pic 4]
[pic 5]
- Operando Matrices y Vectores
En el capítulo 3 iniciamos el aprendizaje de los vectores y matrices como variables de arreglo, ahora comprenderemos los fundamentos del álgebra lineal y resolveremos ecuaciones lineales, mediante el tratamiento de matrices y vectores en su sentido matemático.
Una matriz, representada por un símbolo, es un arreglo rectangular de números encerrados entre corchetes o paréntesis:
[pic 6]
La matriz [pic 7] es una matriz de [pic 8]. Observe que el primer subíndice de una matriz cambia en la dirección vertical y el segundo lo hará en la dirección horizontal. Puede representarse abreviadamente así:
[pic 9]
Cuando [pic 10], la matriz se denomina vector de columna
[pic 11]
En caso de [pic 12], la matriz se convierte en vector de fila
[pic 13]
Note que, en ambos casos, se omite uno de los subíndices.
Otro caso especial es [pic 14]. Entonces [pic 15], convirtiéndose la matriz en un escalar. Estos conceptos ya se definieron en el capítulo 3.
Matriz cuadrada: Una matriz [pic 16]
Matriz nula: Todos los elementos de la matriz son cero [pic 17]. En MATLAB una matriz de este tipo se define como A = zeros(m,n). Una matriz nula cuadrada, A = zeros(n).
Matriz Identidad: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos diagonales son la unidad y el resto son cero. Por ejemplo, una matriz identidad [pic 18]será
[pic 19]
Esta matriz está definida en MATLAB como eye. Su sintaxis es A = eye(n).
Matriz transpuesta: Otra matriz con los subíndices intercambiados. Si [pic 20], entonces [pic 21]. En MATLAB, [pic 22] es la transpuesta de [pic 23].
Ejemplo 1.
Determine la transpuesta de la siguiente matriz, aplicando MATLAB.
[pic 24]
Solución.
>> A = [-1 3 5 7; .8 pi 0 9; 1/4 4 8 -6]
A =
-1.0000 3.0000 5.0000 7.0000
0.8000 3.1416 0 9.0000
0.2500 4.0000 8.0000 -6.0000
>> A'
ans =
-1.0000 0.8000 0.2500
3.0000 3.1416 4.0000
5.0000 0 8.0000
7.0000 9.0000 -6.0000
Ejemplo 2.
Determine la transpuesta de la matriz B, aplicando MATLAB.
[pic 25]
Solución.
>> B = [-1 4+i 5; 0.8 pi+4i 9]
B =
-1.0000 4.0000 + 1.0000i 5.0000
0.8000 3.1416 + 4.0000i 9.0000
>> B'
ans =
-1.0000 0.8000
4.0000 - 1.0000i 3.1416 - 4.0000i
5.0000 9.0000
Para obtener una transpuesta de una matriz sin el número complejo i, debe colocarse un punto delante del apóstrofo. Por ejemplo, B.’.
Matriz de permutación: Es aquélla que se obtiene intercambiando las filas de una matriz identidad. Por ejemplo, sean
[pic 26]; [pic 27]
Entonces, la matriz P es una matriz de permutación de I.
- Suma y resta de matrices
Se pueden sumar matrices si todas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y de filas). Como los vectores son un caso especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores.
Ejemplo 3.
Sumar y restar las siguientes matrices manualmente y aplicando MATLAB
[pic 28]; [pic 29]
Solución.
- Manualmente:
[pic 30]
[pic 31]
- Aplicando MATLAB:
>> A = [6 1 8; 5 2 3; 3 7 1]
A =
6 1 8
5 2 3
3 7 1
>> B = [3 4 1; 4 1 2; 5 0 9]
B =
3 4 1
4 1 2
5 0 9
>> C = A + B;
>> C
C =
9 5 9
9 3 5
8 7 10
>> D = A - B
D =
3 -3 7
1 1 1
-2 7 -8
También se puede sumar un mismo número a cada elemento de una matriz. Esto puede hacerse con el comando A+c*ones(size(A)), o más simplemente, A+c. A es la matriz y c es el número.
- Multiplicación y división de matrices
Sea A una matriz de [pic 32] y B una matriz de [pic 33]. Definimos
[pic 34]
Donde las columnas de B declaramos como [pic 35] y C es la matriz [pic 36] cuyas columnas son los [pic 37] vectores de columna [pic 38]. En términos de las entradas,
[pic 39]
Esta multiplicación de matrices [pic 40] está solamente definida para una matriz A de [pic 41] y una matriz B de [pic 42]. La dimensión de la columna de A debe ser igual a la dimensión de la fila de B. Entonces, C es una matriz de [pic 43].
...