Algebra lineal- Apuntes

[pic 1][pic 2]

[pic 3][pic 4]

[pic 5]

1. Operando Matrices y Vectores

En el capítulo 3 iniciamos el aprendizaje de los vectores y matrices como variables de arreglo, ahora comprenderemos los fundamentos del álgebra lineal y resolveremos ecuaciones lineales, mediante el tratamiento de matrices y vectores en su sentido matemático.

Una matriz, representada por un símbolo, es un arreglo rectangular de números encerrados entre corchetes o paréntesis:

[pic 6]

La matriz [pic 7] es una matriz de [pic 8]. Observe que el primer subíndice de una matriz cambia en la dirección vertical y el segundo lo hará en la dirección horizontal. Puede representarse abreviadamente así:

                                [pic 9]

Cuando [pic 10], la matriz se denomina vector de columna

 [pic 11]

En caso de [pic 12], la matriz se convierte en vector de fila

                        [pic 13]

Note que, en ambos casos, se omite uno de los subíndices.

Otro caso especial es [pic 14]. Entonces [pic 15], convirtiéndose la matriz en un escalar. Estos conceptos ya se definieron en el capítulo 3.

Matriz cuadrada: Una matriz [pic 16]

Matriz nula: Todos los elementos de la matriz son cero [pic 17]. En MATLAB una matriz de este tipo se define como A = zeros(m,n). Una matriz nula cuadrada, A = zeros(n).

Matriz Identidad: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos diagonales son la unidad y el resto son cero. Por ejemplo, una matriz identidad [pic 18]será

                        [pic 19]

Esta matriz está definida en MATLAB como eye. Su sintaxis es A = eye(n).

Matriz transpuesta: Otra matriz con los subíndices intercambiados. Si [pic 20], entonces [pic 21]. En MATLAB, [pic 22] es la transpuesta de [pic 23].

Ejemplo 1.

Determine la transpuesta de la siguiente matriz, aplicando MATLAB.

[pic 24]

Solución.

>> A = [-1 3 5 7; .8 pi 0 9; 1/4 4 8 -6]

A =

   -1.0000    3.0000    5.0000    7.0000

    0.8000    3.1416         0    9.0000

    0.2500    4.0000    8.0000   -6.0000

>> A'

ans =

   -1.0000    0.8000    0.2500

    3.0000    3.1416    4.0000

    5.0000         0    8.0000

    7.0000    9.0000   -6.0000

Ejemplo 2.

Determine la transpuesta de la matriz B, aplicando MATLAB.

[pic 25]

Solución.

>> B = [-1 4+i 5; 0.8 pi+4i 9]

B =

  -1.0000             4.0000 + 1.0000i   5.0000          

   0.8000             3.1416 + 4.0000i   9.0000          

>> B'

ans =

  -1.0000             0.8000          

   4.0000 - 1.0000i   3.1416 - 4.0000i

   5.0000             9.0000          

Para obtener una transpuesta de una matriz sin el número complejo i, debe colocarse un punto delante del apóstrofo. Por ejemplo, B.’.

Matriz de permutación: Es aquélla que se obtiene intercambiando las filas de una matriz identidad. Por ejemplo, sean

 [pic 26];                [pic 27]

Entonces, la matriz P es una matriz de permutación de I.

1. Suma y resta de matrices

Se pueden sumar matrices si todas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y de filas). Como los vectores son un caso especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores.

Ejemplo 3.

Sumar y restar las siguientes matrices manualmente y aplicando MATLAB

[pic 28];                [pic 29]

Solución.

1. Manualmente:

[pic 30]

[pic 31]

1. Aplicando MATLAB:

>> A = [6 1 8; 5 2 3; 3 7 1]

A =

     6     1     8

     5     2     3

     3     7     1

>> B = [3 4 1; 4 1 2; 5 0 9]

B =

     3     4     1

     4     1     2

     5     0     9

>> C = A + B;

>> C

C =

     9     5     9

     9     3     5

     8     7    10

>> D = A - B

D =

     3    -3     7

     1     1     1

    -2     7    -8

También se puede sumar un mismo número a cada elemento de una matriz. Esto puede hacerse con el comando A+c*ones(size(A)), o más simplemente, A+c. A es la matriz y c es el número.

1. Multiplicación y división de matrices

Sea A una matriz de [pic 32] y B una matriz de [pic 33]. Definimos

                                [pic 34]

Donde las columnas de B declaramos como [pic 35] y C es la matriz [pic 36] cuyas columnas son los [pic 37] vectores de columna [pic 38]. En términos de las entradas,

                                [pic 39]

Esta multiplicación de matrices [pic 40] está solamente definida para una matriz A de [pic 41] y una matriz B de [pic 42]. La dimensión de la columna de A debe ser igual a la dimensión de la fila de B. Entonces, C es una matriz de [pic 43].

En MATLAB podemos multiplicar matrices en esta forma con el símbolo *. Es importante notar que esta clase de operación de matrices usa el símbolo *, sin colocar delante el punto.

En general, el producto de matrices no es conmutativo. En caso de serlo se dice que A y B son conmutativas.

La división de una matriz entre otra está relacionada con la obtención de la solución de una ecuación lineal en forma de matriz. Esta operación se tratará más adelante. Sin embargo, hay una clase de división entre dos matrices del mismo tamaño que divide elemento entre elemento.

Ejemplo 4.

Multiplique las siguientes matrices manualmente y aplicando MATLAB

[pic 44];                [pic 45]

Solución.

1. Manualmente:

[pic 46]

1. Aplicando MATLAB:

>> A = [6 1; 5 2; 3 7]

A =

     6     1

     5     2

     3     7

>> B = [3 4 1; 4 1 2]

B =

     3     4     1

     4     1     2

>> C = A*B

C =

    22    25     8

    23    22     9

    37    19    17

Ejemplo 5.

Multiplica las siguientes matrices aplicando MATLAB:

                 [pic 47];        [pic 48]

Solución.

>> A = [6 1; 5 2; 3 7]

A =

     6     1

     5     2

     3     7

>> B = [5 1; 3 8]

...