PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS (APUNTES DIGITALES) ALGEBRA LINEAL

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS (APUNTES DIGITALES)

ALGEBRA LINEAL

[pic 3]

M.D. Federico López Baca

REALIZADO POR:

Ortiz Nuñez Gustavo

Quiroz Morales Cindy Lizeth

Resendiz Arevalo Fernando Alexis

Ruiz Cabrera Luis Antonio

Tinajero Olivo Javier

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

2°J

CICLO 2018 -1 PRIMAVERA    FEBRERO 2018        CD.MANTE TAM.

INDICE

UNIDAD 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1.1.- DETERMINANTES DE 2DO, 3ERO Y ORDN MAYOR

1.2.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.3.- MATRICES

1.4.- TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

1.5.- MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

1.6.- INVERSA DE UNA MATRIZ

1.7.- SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE CRAMER

1.8.- METODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

1.9.- METODO DE GAUSS-SEIDEL

UNIDAD 2-. ESPACIOS VECTORIALES

2.1.- VECTORES EN UN PLANO

2.2.- PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIÓN EN R²

2.3.- VECTORES EN EL ESPACIO (R³)

2.4.- PRODUCTO VECTORIAL

2.5.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

UNIDAD 3-. ALGEBRA EN EL ESPACIO

3.1.- PROPIEDADES BÁSICAS

3.2.- INDEPENDENCIA LINEAL

3.3.- SUBESPACIOS

3.4.- COMBINACIÓN LINEAL Y GENERACIÓN

3.5.- BASE Y DIMENSIÓN

3.6.- RANGO, NULIDAD Y ESPACIO DE COLUMNAS

3.7.- BASES ORTOGONALES

3.8.- ESPACIOS DE PRODUCTO INTERIOR

UNIDAD 4-. TRANSFORMACIONES LINEALES

4.1.- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

4.2.- ÁLGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

4.3.- REPRESENTACIÓN MATRICIAL

4.4.- MATRICES Y TRANSFORMACIONES LINEALES

4.5.- SEMEJANZA

UNIDAD 5-. VALORES Y VECTORES CARACTERISTICAS

5.1.- OBTENCIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

5.2.- MATRICES EQUIVALENTES

5.3.- DIAGONOLAZACIÓN ORTOGONAL

BIBLIOFRAFIA

-ALGEBRA LINEAL

STANLEY GRUSSMAN

ED. IBEROAMERICANA

-ALGEBRA LINEAL

HARVEY GERBER

ED. IBEROAMERICANA

-INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL

HOWARD ANTON

ED. LIMUSA-WILEY

CRITERIOS DE EVALUACION.

• EXAMEN PARCIAL ……………………50%
• ASISTENCIA……………….10%
• PARTICIPACIONES…….20%
• APUNTES DIGITALES ……………………20%

1. DETERMINANTES DE 2DO, 3ER Y ORDEN MAYOR 

DETERMINANTES DE 2DO ORDEN.

Un determinante de 2do orden se representa por un arreglo de números dispuestos en dos filas y dos columnas dentro de dos líneas verticales. A los números de cada elemento del primer número representa el renglón y el segundo número de la columna. Los determinantes los denotamos por letras mayúsculas.[pic 4][pic 5]

              Renglón[pic 6]

        Columna

Donde los elementos a₁₁, a₂₂ se dice que forman la diagonal principal. El valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal contraria, es decir

[pic 7]

det (A)= (a₁₁)(a₂₂) – (a₂₁)(a₁₂)        

Ejemplo.

[pic 8]

det (A)= (4)(-1) – (2)(5)= -4-10= -14        [pic 9][pic 10]

[pic 11]

det (B)= (6)(4) – (-3)(2)=  24 + 6= 30

DETERMINANTES DE 3ER ORDEN.

Un determinante de 3er orden se puede resolver por 3 maneras diferentes: por el método de Cramer, el método de Sarrus y por el método de cofactores.

En el método de Cramer agregamos las dos primeras columnas a la derecha del determinante y trazamos diagonales de izquierda a derecha, posteriormente trazamos diagonales hacia arriba donde cada diagonal es el producto de 3 elementos; se suman y esta suma se le resta a la primer suma.

[pic 12]

det (A)=   [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 13][pic 14]

det (A)= (a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂) – (a₃₁ a₂₂ a₁₃ + a₃₂ a₂₃ a₁₁ + a₃₃ a₂₁a₁₂)

Ejemplo

[pic 21]

det (A)= (1 + 16 + 18) – (6+6+8)[pic 22]

          = 35-20= 15

                                                  B= [pic 23]

det (B)= (45 + 8 +24) – (-6 -60 +24)[pic 24]

          = 77 + 42 = 119

En el método de Saurrus se agregan los dos primeros renglones abajo del determinante, se trazan diagonales hacia abajo y hacia arriba y a la primer suma se le resta la suma de las diagonales hacia arriba.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

det (A)= (a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₃₂ a₁₃ + a₃₁ a₁₂ a₂₃) – (a₃₁ a₂₂ a₁₃ + a₁₁ a₃₂ a₂₃+ a₂₁a₁₂a₃₂)

[pic 33]

[pic 34]

det (A)= (1 + 18 + 16) – (8+6+6)

          = 35 – 20 = 15[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

det (B)= (45 + 24 + 8) – ( -6 -60 +24)[pic 38]

          = 77 + 42 = 119

METODO COFACTORES

En el método de cofactores el determinante se puede resolver utilizando cualquier renglón o cualquier columna, es decir, que lo podemos resolver de 6 formas diferentes.

Si utilizamos el primer renglón el cofactor A₁₁ multiplicara a un determinante de 2do orden que se obtiene al cancelar los elementos del primer renglón y los elementos de la primera columna, seguimos con el elemento A₁₂ cancelando los elementos del primer renglón y de la segunda columna por lo cual nos queda una determinante de 2do orden.

Se debe respetar la ley de los signos que le corresponde a cada cofactor. Una ventaja de este factor es que podemos seleccionar el renglón o columna con los números mas pequeños y de preferencia que contenga un 0 para reducirnos un determinante de 2do orden.

[pic 39]

[pic 40]

 -  + [pic 41][pic 42][pic 43]

 -  + [pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

1(1 – 6) -2(4-9) + 2 (8 -3)

1 (-5) -2 (-5) +2(5)[pic 49]

-5+10+10=-5+20 = 15

-2[pic 50]

-2 (4 -9) + 1(1-6) – 2 (3-8)

-2 (-5) +1 (-5) -2 (5)

10-5+10 =  15[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

 = 5(21)-2(8) -1 (-30)[pic 54]

105 – 16 + 300 = 119 [pic 55]

R₂

 [pic 56]

-4(6 + 6) + 3(15-2) -2 (-30 + 4) = -4 (12) + 3 (13) -2 (-26)[pic 57]

-48 + 39 + 52= 43

METODO DE REDUCCIÓN DE RENGLONES O COLUMNAS

Este método consiste en hacer dos ceros en un renglón o en una columna, se selecciona un elemento que sea 1 para utilizarlo como pivote y posteriormente multiplicamos por el mismo número, pero con signo contrario para el renglón o columna donde deseamos hacer 0.

Para hacer el otro 0 se sigue la misma mecánica, al final nos queda el pivote que multiplica a un determinante de 2do orden.

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