Aplicacion De Las Transformaciones Lineales

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:

REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN.

INTRODUCCION

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos.

DEFINICION

EJEMPLOS

Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de

en que gira cada vector

un ángulo , para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y

tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

tal que

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

y es lineal, ya que:

Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que cada vector

lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vector

lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

CONCLUSION

Nos dice que es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

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