Aplicación del Algoritmo Differential Evolution

Aplicación del Algoritmo Differential Evolution

En la Teoría del Portafolio

1. INTRODUCCIÓN

En este artículo se va a estudiar La Teoría del Portafolio propuesta por el economista estadounidense Markowitz. La teoría moderna del portafolio o teoría de selección de cartera es una teoría de inversión que estudia como maximizar el retorno y minimizar el riesgo, mediante una adecuada elección de los componentes de una cartera de valores.

El modelo M-V (Media-Varianza)  mide el nivel general de la tasa de rendimiento real con la tasa de rendimiento esperada (media de rentabilidad), y mide la incertidumbre (riesgo) de la tasa de rendimiento por la varianza (o desviación típica) del rendimiento.

El modelo es:

[pic 2]

[pic 3]

Donde las variables:

N es el número total de valores de inversión.

W es la proporción de los fondos invertidos en la seguridad de i en el total de la inversión.

R es la tasa esperada de retorno.

U es la tasa de retorno esperada de los valores de i.

Cov(x,y) es la covarianza entre los valores x e y.

El modelo indica que la el riesgo total para el inversor se minimiza cuando se cumple una cierta rentabilidad.

1. APLICACIÓN DE LA METAHEURÍSTICA.

Differential Evolution (DE) es una metaheurística aplicable a variables contínuas, un algoritmo evolutivo que enfatiza la mutación, utiliza un operador de cruce y una recombinación a posteriori, es decir, que usa una relajación de las restricciones y una penalización de las mismas.

Se basa en la evolución de una población de vectores, de valores reales, que representan las soluciones en el espacio de búsqueda. Sigue el siguiente proceso:

1. Generación del Mutant Vector.

[pic 4]

Para obtener el mutant vector, de la siguiente generación o iteración, se trata de añadir la diferencia proporcional de dos individuos xp1 y xp2 de la generación t, elegidos aleatoriamente de la población, a un tercer individuo, x, llamado target, también elegido aleatoriamente (inicialmente).

F es el rango de mutación, con el objetivo de evitar estancamiento en el proceso de búsqueda, ya que representa el rango de diferenciación entre xp1 y xp2, y tiene un valor, en este caso, de:
[pic 5]

Donde t es la generación en curso y T la máxima, p1 y p2 un valor entre [1,N], i un valor de 1 a M y j de 1 a n, xij es el j-ésimo componente del i-ésimo individuo.

1. Operación de Cruce (Crossover).

[pic 6]

Operación de recombinación sobre cada individuo xij para generar un individuo intermedio (trial current), uij. Donde pc son los factores de probabilidad de cruce, randlij es un número aleatorio entre [0, 1].

uij nace de combinar las componentes vij y xij bajo una probabilidad predefinida Cr [0,1]:

[pic 7]

1. Selection Operation

[pic 8]

Un operador de selección decide en base a la mejora del Fitness, dependiendo de la FO, si hay empate o si se queda el vector current, si el individuo U es aceptado y reemplaza al current, o si es rechazado a pasa a la siguiente generación el current.

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