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MODELOS MATEMATICOS.

Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Estamos familiarizados con las previsiones del tiempo, las cuales se basan en un modelo matemático meteorológico; así como con los pronósticos económicos, basados éstos en un modelo matemático referente a economía.

La mayoría de las aplicaciones de cálculo (por ejemplo, problemas de máximos y mínimos) implican modelos matemáticos. En términos generales, en todo modelo matemático se puede determinar 3 fases:

• Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático.

• Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático.

• Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático.

El éxito o fracaso de estos modelos es un reflejo de la precisión con que dicho modelo matemático representa al objeto inicial y no de la exactitud con que las matemáticas analizan el modelo.

Algunos modelos son buenos para algunas cosas y malos para otras. Por ejemplo, el modelo matemático de la mecánica newtoniana puede, hoy en día, usarse para predecir muchos sucesos con precisión a pesar de que la teoría de la relatividad de Einstein (otro modelo matemático) nos dice que éste es inexacto.

El álgebra lineal nos proporciona muchas herramientas para utilizarlas al analizar los modelos matemáticos (ya sean económicos, demográficos, probabilísticos, de ingeniería...).

Otra de las definiciones que se le puede dar al modelo matemático es como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real

2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.

3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.

4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

Modelos Lineales:

Llamamos modelos lineales a aquellas situaciones que después de haber sido

analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal.

En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en

otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se

aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa.

Modelo Cuadrático:

Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una

funcióncuadrática.

Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien,

por medio de una gráfica que mejor aproxime los datos.

En algunos casos puede ocurrir que nuestro modelo coincida precisamente con

una parábola, mientras que habrá otras ocasiones en las que no todos los

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