Cadenas De Markov

CADENAS DE MARKOV.

PROBLEMAS

Problema 1. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados o lluviosos le siguen días nublados o lluviosos.

a) Con esta información, modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov.

b) Si para hoy dan una probabilidad de sol del 75%, hacer la previsión para dentro de una semana que es cuando iremos a ese lugar de vacaciones.

Problema 2. En una población existen 3 medios de transporte: metro, autobús y taxi. Si una persona utiliza el metro, la probabilidad de que la próxima vez lo vuelva a hacer es del 60%, de que utilice el autobús, del 25% y de que utilice taxi, del 15%. Si esta persona utiliza el autobús, la probabilidad de que lo vuelva a hacer es del 70%, de que utilice el metro es del 20% y taxi, del 10%. Si la persona utiliza taxi, la probabilidad de que lo vuelva a hacer es del 55%, de que utilice autobús, del 25% y de que utilice metro, del 20%.

a) Hallar la matriz de transición.

b) La experiencia indica que, hasta la fecha, este hombre ha utilizado el metro el 20% de las ocasiones, el autobús el 50% y el taxi el 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán los porcentajes de cada uno de los servicios de transporte en 4 viajes?

Problema 3. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:

a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.

b) Dibujar el grafo asociado.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos.

Problema 4. Cada familia estadounidense se clasifica, según la zona en la que vive, como urbana, rural o suburbana. Durante un año especifico, 15% de las familias urbanas se mudaron a una ubicación suburbana, y 5 % se mudaron a un área rural; también, 6 % de las familias suburbanas se trasladaron a un área urbana y 4% se pasaron a una ubicación rural; por ultimo, 4% de las familias rurales se fueron a un área urbana y 6% se cambiaron a un lugar suburbano.

a) Si una familia ahora vive en una zona urbana, ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un área urbana dentro de dos años a partir de ahora? ¿Y en una suburbana? ¿Y en una rural?

b) Suponga que en el presente, 40% de las familias viven en un área urbana, 35% viven en un área suburbana y 25% viven en un área rural. Dentro de cinco años a partir de ahora, ¿qué porcentajes de familias estadounidenses vivirán en un área urbana?

c) Indicar cuánto tiempo tendría que transcurrir para que se estabilizaran las probabilidades de permanencia en cada zona.

d) Si una familia se encuentra ubicada en una zona urbana y se cambia de zona, ¿cuánto tiempo tendría que transcurrir hasta volver de nuevo a esa misma zona? ¿Y para cambiarse la primera vez a una rural? ¿Y a una suburbana?

Problema 5. Un taxista trabaja en una ciudad. Cada día puede optar por seguir tres estrategias diferentes:

E1 = circular por la calle en busca de clientes.

E2 = permanecer estacionado en una parada de taxis en espera de un cliente.

E3 = captar clientes por un servicio de radio-taxi al que está abonado.

Las probabilidades de seguir con una estrategia o de cambiar se recogen en la siguiente matriz de transición:

P =

Si permaneciera con las estrategias 1, 2 y 3, ganaría respectivamente 10, 2 y 4. Si cambia de E1 a E2, ganaría 3 y de E2 a E1, 8. En el cambio de E1 a E3 ganaría 8 y de E3 a E1, 3. Por último, en el cambio de E2 a E3 gana 4 y en el de

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