Cadena De Markov

CADENAS DE MARKOV – PROFESOR PAULO QUINSACARA JOFRÉ

1.- El ascensor de un edificio con Subterráneo y dos pisos realiza viajes de uno a otro

piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de

Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del subterráneo se dirigen a

cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso,

sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en

el segundo piso, siempre finaliza en el subterráneo. Se pide:

1.1) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.

Sea 0: Subterráneo, 1: Primer Piso y 2: Segundo Piso

P = => P =

1.2) Dibujar el grafo asociado

1.3) Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada

uno de los tres pisos.

Si P = , si son los valores de probabilidades solicitadas, y además

X+Y+Z =1, se tiene lo siguiente:

(X, Y, Z) = (X, Y, Z), resolviendo se tiene lo siguiente:

3/4Y + Z = X

1/2X = Y

1/2X + 1/4Y = Z

X+Y+Z =1

Los valores del sistema de Ecuación son los siguientes:

X= 8/17; Y=4/17; Z=5/17

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En Porcentajes son:

Para el Subterráneo es de un 47,06%

Para el Primer Piso es de un 23,53%

Para el Segundo Piso es de un 29,41%

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2) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar

desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta,

desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de

estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al

día siguiente es 40%, la de tener que viajar a B es 40% y la de tener que ir a A es de

20%. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir

trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C,

mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja

todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una

probabilidad 10%, irá a B con una probabilidad de 30% y a C con una probabilidad de

60%, se pide:

2.1) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.

P = => P =

2.2) Si hoy el viajante está en A, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en A al cabo de dos días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,19, ósea la probabilidad es de 19%

2.3) Si hoy el viajante está en B, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en B al cabo de dos días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,34, ósea la probabilidad es de 34%

2.4) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en B al cabo de dos días?

Se pide , es decir

=

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Entonces el valor de es de 0,30, ósea la probabilidad es de 30%

2.5) Si hoy el viajante está en A, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en B al cabo de tres días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,315, ósea la probabilidad es de 31,5%

2.6) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en B al cabo de tres días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,3220, ósea la probabilidad es de 32,2%

2.7) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en C al cabo de cuatro días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,5008, ósea la probabilidad es de 50,08%

2.8) Si hoy el viajante está en A, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en A al cabo de cuatro días?

Se pide , es decir

=

Entonces el valor de es de 0,1819, ósea la probabilidad es de 18,19%

2.9) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada

una de las tres ciudades?

Si P = , si son los valores de probabilidades solicitadas,

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