Calculo Diferencial

FASE 1

A. Halle los términos generales de las sucesiones:

1. C_n={3,1,-1,-3.-5,………..}

Es Sucesion Aritmetica, porque Cada termino menos el anterior da el mismo resultado, es -2

C_0=3+0=3+(-2 x 0)=3

C_1=3+1=3+(-2 x 1)=1

C_2=3+2=3+(-2 x 2)=-1

C_3=3+3=3+(-2 x 3)=-3

C_4=3+4=3+(-2 x 4)=-5

Termino General Cn=(-2n+3)

2. C_n= {1,3,9,27,81,…….}

Es Sucesion Geometrica porque cada termino dividido en el anterior da e l mismo resultado, es 3.

C_1=1*3^(1-1)=1*3^0=1

C_2=1*3^(2-1)=1*3^1=3

C_3=1*3^(3-1)=1*3^2=9

C_4=1*3^(4-1)=1*3^3=27

C_5=1*3^(5-1)=1*3^4=81

Termino General C_n=1*3^(n-1) ; C_n=3^(n-1)

3 C_n={1/2,3/4,1,5/4,3/2……}

Es sucuesion Aritmetica porque cada termino menos el anterior es el mismo numero, es 1/4

C_0=1/2+0=1/2+(1/4*0)=1/2+0= 1/2

C_1=1/2+1=1/2+(1/4*1)=1/2+1/4= 3/4

C_2=1/2+2=1/2+(1/4*2)=1/2+2/4= 1

C_3=1/2+3=1/2+(1/4*3)=1/2+3/4=5/4

C_4=1/2+4=1/2+(1/4*4)=1/2+1=3/2

El termino General es C_n=(1/4 n+1/2)

FASE 2

B. Sucesiones monótonas.

4. Demostrar que la sucesión O_n=(2n/(n+1)) es estrictamente creciente.

Primeros 4 terminos

O_1=((2(1))/(1+1))=2/2=1

O_2=((2(2))/(2+1))=4/3

O_3=(2(3)/(3+1))=6/4=3/2

O_4=((2(4))/(4+1))=8/5

Se observa que el 2 termino es mayor que el 1, el 3 termino es mayor que el 2, y el 4 es mayor que el 3, la sucesión es creciente de acuerdo a como n, crece

Regla General

O_(n+1)=(2n+1)/((n+1)+1)=(2(n+1))/(n+2)=(2n+2)/(n+2)

Desigualdad

(2n/(n+1))≤(2n+2)/(n+2)

(2n)(n+2)≤(n+1)(2n+2)

〖2n〗^2+4n≤〖2n〗^2+2n+2n+2

0≤2

Es Creciente Monotona

5. Demostrar que es O_n=(1/n) es estrictamente decreciente.

Primeros 4 terminos

O_1=1/1=1

O_2=1/2

O_3=1/3

O_4=1/4

Se observa que el 2 termino es menor que el primero, el 3 es menor que el 2, y el 4 es menor que el 3, por lo tanto es decreciente

Regla General

O_(n+1)=1/(n+1)

Desigualdad

1/n ≥ 1/(n+1)

1(n+1) ≥ (n)(1)

n+1≥n

1≥0

Es Decreciente Monotona

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y

determinar, con ellas, si son o no crecientes.

6. O_n={(〖3n〗^2+1)/(6n^2+2n+1)}

O_1={(〖3(1)〗^2+1)/(6〖(1)〗^2+2(1)+1)}=(3+1)/(6+2+1)=4/9=0.44

O_2={(〖3(2)〗^2+1)/(6(2)^2+2(2)+1)}=(12+1)/(24+4+1)=13/29=0.448

O_3={(〖3(3)〗^2+1)/(6〖(3)〗^2+2(3)+1)}=(27+1)/(54+6+1)=28/61=0.45

Es Creciente

Cota inferior ≥ 0,44

Para la cota superior se calcula el limite

lim┬(n→∞)⁡〖(〖3n〗^2+1)/(6n^2+2n+1)〗

(〖3(10)〗^2+1)/(6(10)^2+2(10)+1)=301/621=0,48

(〖3(100)〗^2+1)/(6(100)^2+2(100)+1)=30.001/60.201=0,498

(〖3(1000)〗^2+1)/(6(1000)^2+2(1000)+1)=3,000.001/6,002.001=0,4998

Cota superior ≤ 0,5

7. O_n=(5n+1)/n^2

O_1={(5(1)+1)/〖(1)〗^2 }=(5+1)/1=6/1=6

O_2={(5(2)+1)/〖(2)〗^2 }=(10+1)/4=11/4=2,75

O_3={(5(3)+1)/〖(3)〗^2 }=(15+1)/9=16/9=1,77

Es Decreciente

Cota superior ≤ 6

Para la cota inferior se calcula el limite

lim┬(n→∞)⁡〖(5n+1)/n^2 〗

(5(10)+1)/(10)^2 =51/100=0,51

(5(100)+1)/(100)^2 =501/10.000=0,0501

(5(1000)+1)/(1000)^2 =5001/1,000.000=0,005001

Cota inferior ≥ 0,44

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