Campos Conservativos

Campos Conservativos

Se dice que un campo vectorial es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los puntos inicial y final de la circulación.

Los campos conservativos se pueden expresar como gradiente de una función escalar, es decir existe una función escalar de punto V(x,y,z) que cumple:

por lo que el cálculo de la circulación se convierte en:

La circulación de un campo conservativo por una línea cerrada es por tanto cero:

Si un campo vectorial es conservativo cumple además estas condiciones:

; ;

Integrales de línea de campos conservativos

Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones de variable real.

Supongamos que g y G son funciones continuas con valores reales definidas sobre un intervalo cerrado [a , b], que G es diferenciable en (a , b) y que G´= g. Entonces:

Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de G en los extremos del intervalo [a , b].

Cuando el campo vectorial F es un campo gradiente (conservativo), existe un teorema equivalente al teorema fundamental del Cálculo, donde el valor de la integral de línea de campos vectoriales conservativos está completamente determinada por el valor de su función potencial f en los extremos c(a) y c(b)

Esta generalización del Teorema Fundamental brinda una técnica útil para evaluar ciertos tipos de integrales de línea.

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea:

Supongamos que f : R3 à R es de clase C1 y que c : [a , b] à R3 es una trayectoria C1 a trozos.

Entonces:

Ejemplo1.-

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas:

F (x , y) = ( ½ xy , ¼ x2)

Sobre una partícula que se mueve desde (0,0) hasta (1,1)

Solución:

El campo vectorial F (x , y) = ( ½ xy , ¼ x2) es conservativo porque:

F (x , y) = L f(x, y) donde f (x , y) = ¼ x2 y

Por el teorema fundamental de las integrales de línea tenemos:

Como el integrando se identificó como un gradiente, la evaluación de la integral del línea se facilitó.

NOTA:

Si c : [a , b] à R3 es una trayectoria C1 cerrada , esto es: c (a) = c (b) tenemos que:

El siguiente teorema ofrece varias opciones a la hora de calcular una integral de línea relativa a un campo gradiente (conservativo). Podemos usar una función potencial o cambiar el camino propuesto por otro especialmente simple.

Ejemplo 2.-

Evaluar:

...