Cinematica Del Solido

INTRODUCCIÓN

Todo el universo se encuentra en constante movimiento. Los cuerpos presentan movimientos rápidos, lentos, periódicos etc. La Tierra describe un movimiento de rotación girando sobre su propio eje, al mismo tiempo describe un movimiento de traslación alrededor del sol. La luna gira alrededor de la Tierra, los electrones alrededor del núcleo atómico. Así, a nuestro alrededor siempre observaremos algo en movimiento: niños corriendo y saltando, nubes desplazándose por el cielo, árboles balanceándose a uno y otro lado por el viento. Todo en movimiento.

La cinemática del sólido rígido es una rama de la cinemática al movimiento de un objeto tridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

Un sólido rígido es un sistema de partículas cuyas distancias relativas permanecen constantes: Sólido rígido (obsérvese que es el módulo del vector general cambiará su dirección). Si colocamos un sistema de referencia con origen en una de las partículas (o, más habitualmente, en el centro de masas) con un movimiento que sea exclusivamente de traslación, el resto de las partículas no pueden variar su distancia al origen, pero todavía pueden moverse girando respecto de un eje que pase por el origen. Por tanto, el movimiento más general de un sólido rígido es una combinación de una traslación y una rotación.

LEONHARD EULER (1707/04/15 - 1783/09/18)

Matemático suizo. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Hijo de un clérigo. Cursó estudios en la Universidad de la ciudad con el matemático suizo Johann Bernoulli. Con sólo 17 años de edad, se graduó Doctor.

En el año 1727, invitado por la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Catedrático de Física en 1730 y de Matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande.

Poseedor de una asombrosa facilidad para los números y el raro don de realizar mentalmente cálculos de largo alcance. Se recuerda que en una ocasión, cuando dos de sus discípulos, al realizar la suma de unas series de diecisiete términos, no estaban de acuerdo con los resultados en una unidad de la quincuagésima cifra significativa, se recurrió a Euler. Este repasó el cálculo mentalmente, y su decisión resultó ser correcta.

Realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras más destacadas se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Perdió parcialmente la visión antes de cumplir 30 años y se quedó casi ciego al final de su vida. Regresó a San Petersburgo en 1766, donde murió el 18 de septiembre de 1783.

APORTES A LA FISICA

En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).

En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la hidrodinámica.

Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

Ecuaciones del movimiento:

Ángulos de Euler:

Los ángulos de Euler son tres coordenadas angulares que permiten relacionar la orientación de un sistema de ejes respecto a otro. En mecánica del sólido rígido se consideran normalmente dos sistemas de referencia: un sistema de ejes fijo o asociado a un observador inercial y otro móvil respecto al primero pero solidario con el sólido rígido. Aunque técnicamente es posible plantear las ecuaciones de Newton para el sistema inercial relacionando las magnitudes del sistema asociado al sólido rígido mediante la matriz de rotación asociada a los ángulos de Euler, resulta un sistema de ecuaciones poco práctico debido a que en ese sistema el tensor de inercia varía con el tiempo.

Ecuaciones de Euler:

Cuando las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido se expresan en un sistema de referencia no inercial solidario con los ejes principales de inercia del sólido rígido toman una fórmula particularmente simple conocida como ecuaciones de Euler. En general, en este sistema de referencia es mucho más sencillo integrar las ecuaciones de movimientos que en un sistema de referencia inercial y no solidario con el cuerpo. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de un sólido rígido tienen la forma:

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

CONCEPTOS BÁSICOS

Cinemática

Estudia la geometría del movimiento, relacionándolo con su desplazamiento y trayectoria.

Sólido rígido

Es un caso especial de un sistema de muchas partículas, donde se considera que la distancia entre las partículas de estos cuerpos permanece constante (rAB=constante), o sea son absolutamente indeformables.

En un sólido rígido, la separación entre dos puntos cualesquiera es fija e independiente del tiempo. Las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.

Cinemática del solido: Estudia la geometría del movimiento de un cuerpo rígido tomando encuenta sus dimensiones y relacionándolo con su desplazamiento y trayectoria.

Rotación

Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada

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