Clasificacion De Funciones

FUNCION ELEMENTAL.

En matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones racionales (adición, sustracción, multiplicación y división) y la composición de funciones. Usando exponenciales, logarítmicas, potenciales, constantes, y las funciones trigonométricas y sus inversas, todas consideradas dentro del grupo de funciones elementales fundamentales.

Las funciones elementales son un subconjunto de del conjunto de las funciones generadas a partir de las funciones especiales, mediante operaciones elementales y composición.

Hay otros autores que denominan funciones elementales fundamentales, que tampoco consideran a la función constante como función elemental fundamental. Hay distintos procedimientos para representar las funciones. Sin embargo, asume peculiar importancia el procedimiento de representarlas por fórmulas. Esto se ve en las que se denominan funciones elementales o bien simples, entre ellas:

Función Constante:

Función Identidad:

Función Cuadrática:

Función Cúbica:

Función Raíz: , con x ≥ 0.

Función Potencial: , n ∈ ℝ con n ≠ 0. Notemos que la función cuadrática, la función cúbica y la función raíz cuadrada son casos particulares de esta función.

Función Exponencial: , x ∈ ℝ y a ∈ ℝ+.

Función Logarítmica: , x ∈ ℝ+; a ∈ ℝ+ con a ≠ 1.

Funciones Trigonométrica

Función Ceno:

Función Coseno:

Función Tangente: , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.

Función Secante: , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.

Función Cosecante: , con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Función Cotangente: , con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Funciones Trigonométricas Inversas

Función Arco Seno: , con x ∈ [-1, 1]

Función Arco Coseno: , con x ∈ [-1, 1]

Función Arco Tangente:

Generación de funciones elementales

Si las funciones anteriores se combinan, pudiendo usar, un número finito de veces, las operaciones de adición, resta, multiplicación, división y composición de funciones, se consiguen, nuevamente, funciones elementales. Ciertamente, más complicadas que las de la lista precedente

FUNCION COMPUESTA.

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función: ex

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g (y)), puesto que conocemos la función g.

2. Por tanto, (x, g (f(x))) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.

3. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g (f(x)).

PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN

ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ha (golf) = (hoy) of.

CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, golf y fog son en general dos funciones distintas.

En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.

FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.

RECÍPROCA O INVERSA

Consideremos la función

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