Concavidad Y Puntos De Inflexión.

Desarrollo de la práctica:

Analiza el siguiente planteamiento: la longitud de la base de un paralelepípedo es el triple que el ancho del mismo, y la altura es h cm., como se muestra en la figura de abajo. El total del área es cm2 y el volumen es cm3.

Da respuesta a los siguientes cuestionamientos:

A. Demuestra que el .

A = 2(3x)(x) + 2xh + 2(3x)h

A = 6x² + 8xh     → E1

V = (3x)(x)(h)

V = 3x²h      → E2

B. Si , obtén una expresión para en términos de .

A=200 en E1

6x² + 8xh = 200 Entonces:    200 - 6x²

h = —————

       8x

    100 - 3x²

h = —————

       4x

C. Si , demuestra que el volumen .

    100 - 3x²

h = —————

       4x

4xh = 100 - 3x²

(3x)4xh    3x(100 - 3x²)

———— = ———————

   4           4

       300x - 9x³

3x²h = ——————

          4

       300x   9x³

V(x) = ——— - ——

        4     4

simplificando

            9x³

V(x) = 75x - ——      → E3

            4

D. Encuentra .

           27x²

V'(x) = 75 - ———

            4

E. Con los criterios de la primera y segunda derivada, demuestra que el punto es un punto máximo. 
Nota: es el valor crítico.

Si V'(x) = 0 entonces

     27x²

75 - ——— = 0

      4

     75(4)    300     100     10²

x² = ——— = ——— = ——— = ———

      27      27      9       9²

       10²

x = √(———) ⇒

        9²

    10

x = ——

     9

Derivar para conocer mínimo o máximo.

Entonces si f '(x) < 0 será Máximo, f '(x) > 0 será Mínimo y si f '(x) = 0 entonces el criterio falla

           27x²

V'(x) = 75 - ———

            4

          54x

V ''(x) = - ———

          4

          27x

V ''(x) = - ———

          2

evaluar V ''(x) en x=10/9:

            27(10/9)

V ''(10/9) = - ————

             2

V ''(10/9) = - 15 < 0 = el valor x=10/9 es un Máximo

F. Encuentra el volumen máximo. 


utilizamos la E3

            9x³

V(x) = 75x - ——

            4

            10    9(10)³

V(10/3) = 75(——) - ——— ⇒

            3     4(3)³

          750    9000

...