Ensayos Y Trabajos: Optimizacion

Dadas las siguientes funciones determine los Intervalos donde la función es Creciente y Decreciente:

Y = f(x) = - 2x2 + 4x + 3

a) Hallo la derivada

- 4x + 4

b) Determino que es una función cuadrática incompleta:

4 = 4x

4/4=x

X1 = 1

X2 = -1

Si se aplica la formula general seria:

a = - 4 b = 0 c = 4 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(0)±√(0^2-4(-4)(4)))/(2(-4))

x=(±√64)/(-8)

x=8/(-8)= -1

x=(-8)/(-8)= 1

c) Se halla el valor de “y”

Cuando X= 1

F (1) = -2 (1)2 + 4 (1) + 3

F (1) = -2 + 4 + 3 = 5

Punto crítico (1; 5)

Cuando X = -1

F (-1) = -2 (-1)2 + 4 (-1) + 3

F (1) = -2 - 4 + 3 = - 3

Punto crítico (-1; -3)

d) Análisis de los puntos críticos con el criterio de la Primer Derivada

Punto crítico (1; 5)

Valor antes de 1 = (0,9)

Tomo la derivada y’ = - 4x + 4

Remplazo el valor de X (0.9) = - 4 (0.9) + 4 = 0.4 Positivo

Valor después de 1 = (1,1)

Remplazo el valor de X (1.1) = - 4 (1.1) + 4 = - 0.4 Negativo

En el punto crítico (1; 5) encontramos un punto máximo, ya que pasa de positivo a negativo.

Punto critico (-1; -3)

Valor antes de -1 = -1.1

Tomo la derivada y’ = - 4x + 4

Remplazo el valor de X (-1.1) = - 4 (-1.1) + 4 = 8.4 Positivo

Valor después de -1 = (-0,9)

Remplazo el valor de X (-0.9) = - 4 (-0.9) + 4 = 7.6 Positivo

En el punto critico (-1; -3) encontramos que es lineal, no hay ni máximo, ni mínimo.

APLICACIÓN DEL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Y = f(x) = - 2x2 + 4x + 3

a) Despejo la primera derivada

y’ = -4 x + 4

b) Segunda derivada

y’2 = - 4

Como la segunda derivada es negativa, indica que hay un punto máximo.

Y = f(x) = X3 - 6x2 + 15

a) Hallo la derivada

y’ = 3x2 – 12x

a = 3 b = - 12 c = 0

b) Aplico la formula general

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(-12)±√(〖(-12)〗^2-4(3)(0)))/(2(3))

x=(-(-12)±√(〖(-12)〗^2-4(3)(0)))/(2(3))

x=(12±√(144-0))/6

x=(12±12)/6

x_1=(12+12)/6= 24/3=4

x_2=(12-12)/6= 0/6=0

c) Se halla el valor de “y”

Cuando X = 4

F (4) = (4)3 – 6 (4)2 + 15

F (4) = 64 – 96 + 15 = -17

Punto critico (4; -17)

Cuando X = 0

F (0) = (0)3 – 6 (0)2 + 15 = 15

Punto Crítico (0; 15)

d) Análisis de los puntos críticos con el criterio de la Primer Derivada

Punto critico (4; -17)

Valor antes de 4 = (3.9)

Tomo la derivada y’ = 3x2 – 12x

Remplazo el valor de X (3.9) = 3 (3.9)2 – 12 (3.9)

X (3.9) = 45.63 – 46.8 = -1.17 Negativo

Valor después de 4 = (4,1)

Remplazo el valor de X (4.1) = 3 (4.1) 2 - 12 (4.1)

X (4.1) = 50.43 –

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