Espacio Vectorial

Espacio vectorial:

Es aquel formado por un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (Números reales), que además está dotado por dos operaciones:

- Suma de vectores A, B, C Є V A+B Є V

- Multiplicación por un escalar c, d, e Є K c A Є V

* Se denota por {V, K,+,}

Dependencia lineal:

*Dados 2 vectores, A y B, se dice que A es linealmente dependiente de B, si A puede ser expresado como combinación lineal de B.

Ejemplo: A = (3 2) B = (-6 -4)

Producto interno:

* Es la suma y multiplicación de las coordenadas de dos vectores entre sí.

* Ejemplo: A = (1, 1, 1) B=(0,2,-1)

Norma de un vector:

Dado un espacio vectorial V, con x1, x2,…xn las coordenadas de un vector.

Ejemplo: Hallar ||w||2 de (0,1,2)

Vectores ortogonales:

Dos vectores son ortogonales si su Producto Interno es igual a cero.

Base ortogonal:

Es aquella donde los dos vectores que conforman la base son perpendiculares entre sí; es decir su producto interno es igual a cero.

Subespacios:

Sea un espacio vectorial V, un subespacio U es un subconjunto no vacío de V, que satisface las siguientes propiedades:

- Suma de vectores B, C Є U B+C Є U

- Multiplicación por un escalar d Є K dB Є U

Matrices:

Es una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones y n incógnitas.

* Ejemplo: Dos familias van a una heladería y compran lo siguiente:

- Familia 1: 2 barquillas, 1 helado de tina y 3 granizados, gastando 42 BsF.

- Familia 2: 1 barquilla, 2 helados de tina y 1 granizado, gastando 51BsF

Autovalores y Autovectores:

Sea A una matriz, X un vector no nulo y (c) un escalar.

- X es un autovector (vector propio) si AX=cX

- (c) se llama autovalor (valor propio)

*Para hallar los autovalores se debe encontrar el Polinomio Característico

|A-cI|=0

*Para hallar los autovectores, se buscan todos aquellos vectores tales que

(A-cI)X=0

Formas cuadráticas asociadas a una matriz:

Son combinaciones expresadas en ecuaciones de los elementos de una matriz más los elementos de un vector de variables.

Pasos para resolver un problema de Forma cuadrática asociada a una matriz:

Hallar la matriz simétrica asociada:

- En la diagonal principal los coeficientes de los términos al cuadrado

- Los demás valores son los términos divididos entre 2

* Estudiar la matriz de acuerdo al método de los menores principales para clasificar la forma cuadrática.

* Ejemplo: Clasificar la forma w(x,y,z)=3x2+y2+2xz+4xy

Conjuntos convexos:

En un espacio vectorial, se dice que un conjunto es convexo si para cada par de puntos que se definan en él, el segmento recto que los une está totalmente incluido en el conjunto.

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