Espacio vectorial

Contenido

4 Espacio vectorial 1

4.1 Definición de espacio vectorial 1

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades 2

4.3 Combinación lineal, dependencia e independencia lineal 3

4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial y cambio de base 4

4.5 Espacio vectorial con producto interno 9

4.6 Base ortonormal 10

5 Transformaciones lineales 11

5.1 Introducción a las transformaciones lineales. 11

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. 14

5.3 La matriz de una transformación lineal 18

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales. 22

4 Espacio vectorial

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

4.1 Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Axiomas de un espacio vectorial.

1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

Definición:

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas 1 a 10 de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas 1 y 4] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas 2, 5, 7, 8, 9 y 10)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

Propiedades:

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

4.3 Combinación lineal, dependencia e independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn

donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como

i = (1,0,0);

j = (0,1,0);

k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2+…+ckvk=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.

Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n

Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>n

Los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.

Teoremas

1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.

3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.

4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial y cambio de base

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.

Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn

2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Restar 2-1

0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn

Ejemplo:

demostrar si S = {v1, v2,…, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)

Proponer vector arbitrario, combinación lineal

b = c1v1+ c2v2+ c3v3

(b1, b2, b3) = c1(1,2,1)+ c2(2,9,0)+ c3(3,3,4)

(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3

c1 + 2c2 + 3c3 = b1 det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]

2c1 + 9c2 + 3c3 = b2

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